2018-浙江卷-10 单-等比数列

本题导读

本题考查等比数列的性质，以及导数研究函数单调性。

📌【题干】

Question

（2018年浙江卷）已知 $a_1,a_2,a_3,a_4$ 成等比数列，且 $a_1+a_2+a_3+a_4=\ln (a_1+a_2+a_3)$.若 $a_1>1$，则()

A. $a_1<a_3,a_2<a_4$　　　　　　　　　　　B. $a_1>a_3,a_2<a_4$

C. $a_1<a_3,a_2>a_4$　　　　　　　　　　　D. $a_1>a_3,a_2>a_4$

🔍【思路分析】

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1. 构造基础不等式：利用导数证明 $x\ge \ln x+1$ 对 $x>0$ 恒成立。由此推导 $x>\ln x$。

2. 设定公比 $q$ 并分类讨论：

   • 设等比数列公比为 $q$。由于 $\ln (a_1+a_2+a_3)$ 有意义，必须保证 $a_1(1+q+q^2)>0$。由于 $a_1>1$，则 $1+q+q^2>0$ 恒成立。

   • 情形一：$q>0$。此时数列全为正项。利用 $x>\ln x$ 性质分析方程左右两边，看是否产生矛盾。

   • 情形二：$q=0$。不符合非零向量/数列惯例且不合题意。

   • 情形三：$q<0$。进一步讨论 $q\le -1$ 和 $-1<q<0$ 的情况。

3. 确定 $q$ 的范围并比较大小：

   • 若找到满足条件的 $q$ 范围，则通过 $a_3=a_1{q}^2$ 和 $a_4=a_2{q}^2$ 进行大小比较。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B

【解析过程】

第一步：证明基础不等式

令 $f(x)=x-\ln x$ ($x>0$)，则 $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$。

当 $x\in (0,1)$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 减；当 $x\in (1,+\infty )$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 增。

故 $f(x{)}_{min}=f(1)=1$。所以对任意 $x>0$，有 $x\ge \ln x+1>\ln x$。

第二步：分类讨论公比 $q$

设 $S_3=a_1+a_2+a_3$，$S_4=a_1+a_2+a_3+a_4$。已知 $S_4=\ln S_3$。

由第一步结论知 $S_3>\ln S_3$。

1. 若 $q>0$，则 $a_4=a_1{q}^3$ 与 $a_1$ 同号且为正。

   此时 $S_4=S_3+a_4>S_3>\ln S_3$，与已知 $S_4=\ln S_3$ 矛盾。故 $q$ 不可能大于 0。

2. 若 $q\le -1$，则 $S_4=a_1(1+q)(1+q^2)$。

   因为 $a_1>1,1+q\le 0,1+q^2>0$，所以 $S_4\le 0$。

   而 $S_3=a_1(1+q+q^2)=a_1[(q+\frac{1}{2}{)}^2+\frac{3}{4}]>0$。

   此时 $\ln S_3$ 为实数，但 $S_4\le 0$ 且 $S_3=a_1(1+q+q^2)\ge a_1\times 1>1$，则 $\ln S_3>0$。

   左边 $S_4\le 0$，右边 $\ln S_3>0$，矛盾。故 $q$ 不可能 $\le -1$。

3. 若 $-1<q<0$，此时 $q^2\in (0,1)$。

   由 $a_1>1$ 及 $q^2<1$ 得 $a_1>a_1{q}^2⟹a_1>a_3$。

   由 $q<0$ 及 $a_1>1$ 得 $a_2=a_{1}q<0$。

   因为 $q^2<1$ 且 $a_2<0$，所以 $a_2<a_2{q}^2⟹a_2<a_4$。

综上，$a_1>a_3$ 且 $a_2<a_4$。

对照选项，正确答案为 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 母函数放缩：$x\ge \ln x+1$ 是高考导数题中的“常青树”，本题将其作为隐含背景考查，体现了浙江卷对数学素养的深度要求。

2. 符号逻辑：等比数列中，公比 $q$ 的正负决定了数列的单调性还是摆动性。当 $q<0$ 时，奇数项和偶数项的符号是相反的，比较大小时要极其注意负号对不等号方向的影响。

3. 排除法的妙用：在考场上，若无法严谨证明，可以通过代入特殊的 $q$ 值（如 $q=1,q=-2$）快速排除错误选项。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，建议背诵并理解以下不等式，它们是解决压轴题的利器：

• $e^x\ge x+1$ (当且仅当 $x=0$ 取等)

• $x-1\ge \ln x$ (当且仅当 $x=1$ 取等)

• $\sin x<x$ (当 $x>0$ 时)

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷理-16 解-等差数列通项与前n项和公式
• 2013-新课标I卷理-14 填-Sn与an
• 2013-湖北卷理-18 解-等比数列的性质