2019-上海卷-04 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项展开式的通项公式。

📌【题干】

Question

（2019年上海卷）已知二项式 $(2x+1{)}^5$，则展开式中含 $x^2$ 项的系数为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 写出通项公式：利用 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。

2. 确定参数：本题中 $n=5,a=2x,b=1$。

3. 锁定目标项：令 $x$ 的指数等于 2，解出 $r$，进而求出该项的系数。

✅【答案】

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40

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 40

【解析过程】

二项式 $(2x+1{)}^5$ 的展开式通项公式为：

$T_{r+1}=C_5^r\cdot (2x{)}^{5-r}\cdot 1^r=C_5^r\cdot 2^{5-r}\cdot x^{5-r}$。

要求含 $x^2$ 项的系数，令 $5-r=2$，解得 $r=3$。

代入 $r=3$ 得：

$x^2$ 项的系数为 $C_5^3\cdot 2^{5-3}=C_5^3\cdot 2^2$。

计算得 $C_5^3=C_5^2=\frac{5\times 4}{2\times 1}=10$，

则系数为 $10\times 4=40$。

故答案为：40。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 系数的概念：二项式系数特指组合数 $C_n^r$，而项的系数包括组合数以及项内部常数幂的乘积。

• 运算细节：不要漏掉 $(2x)$ 中 $2$ 的幂次计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

在二项式展开式中：

• 第 $r+1$ 项的二项式系数是 $C_n^r$，其最大值出现在中间项。

• 第 $r+1$ 项的系数受二项式内部常数影响，需整体计算。

🔗【关联脉络】

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