2025-天津卷-11 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理中特定项系数的计算。通过通项公式确定目标项的次数，并准确处理负号项的幂运算，是天津卷代数板块的基础送分题.

📌【题干】

Question

（2025年天津卷）在 $(x-1{)}^6$ 的展开式中，$x^3$ 项的系数为 $\underline{}$ .（用数字作答）

🔍【思路分析】

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1. 识别参数：本题对应二项式 $(a+b{)}^n$ 的形式，其中 $a=x$，$b=-1$，$n=6$.
2. 利用通项公式：写出通项 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$.
3. 锁定目标项：根据题目要求的 $x^3$ 项，令 $x$ 的指数等于 3，从而求出 $r$.
4. 准确计算：将 $r$ 代入系数部分，特别注意负号在奇数次幂下的保留.

✅【答案】

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-20

✍【详细解析】

Abstract

通项公式法

1. 写出通项公式： $(x-1{)}^6$ 展开式的通项为： $T_{r+1}=C_6^r\cdot x^{6-r}\cdot (-1{)}^r(r=0,1,2,\dots ,6)$

2. 确定 $r$ 的值： 令 $x$ 的指数 $6-r=3$，解得 $r=3$.

3. 代入计算系数： 将 $r=3$ 代入项中： $T_4=C_6^3\cdot x^3\cdot (-1{)}^3$ 其中组合数 $C_6^3=\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}=20$. 常数项 $(-1{)}^3=-1$. 所以，$x^3$ 项的系数为 $20\times (-1)=-20$.

故填：-20

其他精彩解法

组合意义观察法 展开式 $(x-1)(x-1)(x-1)(x-1)(x-1)(x-1)$ 中，$x^3$ 项相当于从 6 个括号中选出 3 个括号贡献 $x$，剩余 3 个括号必须贡献常数项 $-1$. 故其系数为： $C_6^3\times (-1{)}^3=20\times (-1)=-20$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 考点归纳：

• 杨辉三角：展开式系数与杨辉三角的行对应关系.

2. 方法总结： -计算细节：组合数 $C_n^r=C_n^{n-r}$ 的性质可以简化大数值的计算.

3. 避坑指南：

• 符号陷阱：二项式中含有减号时（如 $x-a$），务必将减号视为后项系数的一部分，即看作 $[x+(-a){]}^n$.
• 概念区分：
• 二项式系数：仅指组合数 $C_n^r$，永远为正。本题 $x^3$ 的二项式系数为 $C_6^3=20$.
• 项的系数：包含二项式系数和各项常数倍数的乘积。本题要求的是“系数”，故为 $-20$.

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 结论的推广:

• $(x-1{)}^n$ 展开式的各项系数之和可以通过赋值法 $x=1$ 得到，即 $(1-1{)}^n=0$.

2.方法的推广:

• 赋值法：若要求展开式中所有项系数的绝对值之和，可令 $x=-1$（对于此题形式）.

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2019-上海卷-04 填-二项式定理
• 1986-全国理-15 填-二项式的常数项
• 1997-全国卷理-16 填-二项式展开式的系数