2019-上海卷-09 填-抛物线焦点

本题导读

本题考查抛物线的标准方程与焦点，以及平面向量的坐标运算。

📌【题干】

Question

（2019年上海卷）过 $y^2=4x$ 的焦点 $F$ 并垂直于 $x$ 轴的直线分别与 $y^2=4x$ 交于 $A,B$ 两点，$A$ 在 $B$ 上方，$M$ 为抛物线上一点，$\overrightarrow{OM}=\lambda \overrightarrow{OA}+(\lambda -2)\overrightarrow{OB}$，则 $\lambda =$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定 A, B 坐标：抛物线 $y^2=4x$ 的焦点 $F$ 为 $(1,0)$。垂直于 $x$ 轴的直线方程为 $x=1$。代入抛物线方程求出 $A,B$ 坐标。
2. 向量坐标化：利用向量的线性运算法则，将 $\overrightarrow{OM}$ 用含 $\lambda$ 的坐标表示，即得到点 $M$ 的坐标。
3. 点在曲线上：将点 $M$ 的坐标代入抛物线方程 $y^2=4x$，建立关于 $\lambda$ 的一元一次方程。
4. 解方程：求出 $\lambda$ 的值。

✅【答案】

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3

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 3 【解析过程】 由 $y^2=4x$ 知 $2p=4,p=2$，焦点 $F$ 坐标为 $(1,0)$。 过焦点 $F$ 且垂直于 $x$ 轴的直线方程为 $x=1$。 代入 $y^2=4x$ 得 $y^2=4$，解得 $y=\pm 2$。 因为 $A$ 在 $B$ 上方，所以 $A(1,2),B(1,-2)$。 则 $\overrightarrow{OA}=(1,2),\overrightarrow{OB}=(1,-2)$。 根据向量等式 $\overrightarrow{OM}=\lambda \overrightarrow{OA}+(\lambda -2)\overrightarrow{OB}$： $\overrightarrow{OM}=\lambda (1,2)+(\lambda -2)(1,-2)$ $\overrightarrow{OM}=(\lambda +\lambda -2,2\lambda -2\lambda +4)=(2\lambda -2,4)$。 即点 $M$ 的坐标为 $(2\lambda -2,4)$。 由于点 $M$ 在抛物线 $y^2=4x$ 上，代入坐标得： $4^2=4(2\lambda -2)$ $16=8\lambda -8$ $24=8\lambda$ 解得 $\lambda =3$。 故答案为：3。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 通径长性质：抛物线中过焦点且垂直于对称轴的弦称为“通径”，其长度为 $2p$。本题中 $AB=4$。
• 向量线性关系：本题利用向量作为纽带，考查了从“几何位置”到“代数方程”的转化能力。注意坐标运算中正负号的处理。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以整理向量共线的特殊形式：

• 若 $\overrightarrow{OM}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$ 且 $m+n=1$，则点 $M,A,B$ 三点共线。
• 本题中 $\lambda +(\lambda -2)=2\lambda -2$，只有当 $\lambda =1.5$ 时三点共线。而本题计算结果为 3，说明 $M$ 不在直线 $AB$ 上。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2008-湖南卷文-11 填-向量模坐标运算
• 2013-四川卷理-06 单-抛物线的标准方程与焦点坐标