2019-上海卷-11 填-双曲线性质

本题导读

本题考查双曲线的标准方程与几何性质，以及数列极限的计算。

📌【题干】

Question

（2019年上海卷）已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n<a_{n+1}$ ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$)，点 $P_n(n,a_n)$ 在双曲线 $\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{2}=1$ 上，则 ${\lim }_{n\to \infty }|P_n{P}_{n+1}|=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 代数表达（法一）：

• 将点 $P_n$ 坐标代入双曲线方程，解出 $a_n=\sqrt{2(\frac{n^2}{6}-1)}$。

• 写出 $|P_n{P}_{n+1}|=\sqrt{(n+1-n{)}^2+(a_{n+1}-a_n{)}^2}$ 的表达式。

• 利用分子有理化或最高次项提取法求极限。

2. 几何直观（法二 - 推荐）：

• 趋向渐近线：当 $n\to \infty$ 时，双曲线上的点 $P_n$ 无限趋近于其在第一象限的渐近线 $y=\frac{b}{a}x$。

• 斜率转化：双曲线 $\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{2}=1$ 的渐近线斜率 $k=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。

• 投影关系：线段 $P_n{P}_{n+1}$ 在 $x$ 轴上的投影长度恒为 $(n+1)-n=1$。当 $n\to \infty$ 时，线段 $P_n{P}_{n+1}$ 的斜率趋于渐近线斜率。

• 计算结果：若倾斜角为 $\theta$，则 $\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{1+k^2}}$，线段长度 $L=\frac{1}{\cos \theta }=\sqrt{1+k^2}$。

✅【答案】

点击查看答案

$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

【解析过程】

方法一（极限法/几何背景法）：

双曲线方程为 $\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{2}=1$，其在第一象限的渐近线方程为 $y=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}x=\frac{\sqrt{3}}{3}x$。

设渐近线的倾斜角为 $\theta$，则 $\tan \theta =\frac{\sqrt{3}}{3}$，由此得 $\theta =\frac{\pi }{6}$。

当 $n\to \infty$ 时，双曲线上的相邻两点 $P_n,P_{n+1}$ 构成的直线斜率无限趋近于渐近线斜率。

由于 $P_n,P_{n+1}$ 的横坐标分别为 $n$ 和 $n+1$，它们在 $x$ 轴上的投影长度为 $\Delta x=1$。

在极限状态下：

${\lim }_{n\to \infty }|P_n{P}_{n+1}|=\frac{\Delta x}{\cos \theta }=\frac{1}{\cos \frac{\pi }{6}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。

方法二（代数运算法）：

$a_n=\sqrt{\frac{n^2}{3}-2}$，则 $|P_n{P}_{n+1}|=\sqrt{1^2+(a_{n+1}-a_n{)}^2}$。

计算 ${\lim }_{n\to \infty }(a_{n+1}-a_n)={\lim }_{n\to \infty }(\sqrt{\frac{(n+1{)}^2}{3}-2}-\sqrt{\frac{n^2}{3}-2})$

利用分子有理化：

$={\lim }_{n\to \infty }\frac{\frac{2n+1}{3}}{\sqrt{\frac{(n+1{)}^2}{3}-2}+\sqrt{\frac{n^2}{3}-2}}=\frac{2/3}{\sqrt{1/3}+\sqrt{1/3}}=\frac{2/3}{2/\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。

代入距离公式：$L=\sqrt{1+(\frac{\sqrt{3}}{3}{)}^2}=\sqrt{1+\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。

故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 数形结合的深度：本题如果单纯进行代数运算，计算量较大且易出错；若能观察到双曲线在无穷远处“退化”为渐近线的几何特征，解题会变得非常优雅。

• 变量跨度：注意横坐标步长为 1，这是应用 $\cos \theta =\frac{\Delta x}{L}$ 的前提。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以归纳这一类“曲线远端线段极限”的通用结论：

若点 $P_n(x_n,y_n)$ 在有渐近线 $y=kx+b$ 的曲线上，且 $x_{n+1}-x_n=d$，则：

${\lim }_{n\to \infty }|P_n{P}_{n+1}|=d\sqrt{1+k^2}$

该结论适用于双曲线、函数 $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ 等具有线性渐近线的图形。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 1998-全国卷理-16

• 2005-辽宁卷-11 单-抛物线的几何性质

• 2008-大纲卷I文-22 解-双曲线渐近线弦长