2019-上海卷-12 填-函数图象

本题导读

本题考查绝对值函数与反比例函数图象，以及几何变换。

📌【题干】

Question

（2019年上海卷）已知 $f(x)=\left|\frac{2}{x-1}-a\right|$ ($x>1,a>0$)。若 $a=a_0$，$f(x)$ 与 $x$ 轴交点为 $A$，$f(x)$ 为曲线 $L$。在 $L$ 上任意一点 $P$，总存在一点 $Q$ ($P$ 异于 $A$) 使得 $AP\perp AQ$ 且 $|AP|=|AQ|$，则 $a_0=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定 A 点坐标：令 $f(x)=0$，解得 $\frac{2}{x-1}=a$，则 $x-1=\frac{2}{a}$，即 $x=1+\frac{2}{a}$。所以 $A(1+\frac{2}{a},0)$。
2. 分析几何条件：条件 “$AP\perp AQ$ 且 $|AP|=|AQ|$” 意味着点 $Q$ 是点 $P$ 绕点 $A$ 顺时针或逆时针旋转 $90^{\circ }$ 得到的。
3. 转化图象特征：由于对 $L$ 上“任意”一点 $P$，点 $Q$ 都在 $L$ 上，说明曲线 $L$ 绕其与 $x$ 轴的交点 $A$ 旋转 $90^{\circ }$ 后与自身重合。
4. 利用对称性破题：

• 原始函数 $y=\frac{2}{x-1}-a$ 的对称中心是 $(1,-a)$。
• $f(x)$ 是将上述函数在 $x$ 轴下方的部分翻折上去得到的。
• 要使翻折后的两条分支绕 $A$ 点旋转 $90^{\circ }$ 能重合，其渐近线必须互相垂直且 $A$ 点必须是原双曲线对称中心关于 $x$ 轴对称后的特殊关联点。
• 核心结论：只有当 $A$ 点到两条渐近线的距离相等时，旋转才可能发生。由于 $x=1$ 是铅直渐近线，$y=a$ 和 $y=-a$（翻折后）是水平渐近线，点 $A$ 必须满足其到 $x=1$ 的距离等于其到渐近线 $y=a$ 的距离。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

【答案】 1 【解析过程】 由题意，$f(x)=0⟹\frac{2}{x-1}=a⟹x=1+\frac{2}{a}$，即 $A(1+\frac{2}{a},0)$。 曲线 $L$ 由两部分组成： $L_1:y=\frac{2}{x-1}-a$ （当 $\frac{2}{x-1}\ge a$ 时） $L_2:y=a-\frac{2}{x-1}$ （当 $\frac{2}{x-1}<a$ 时） 这两条曲线分支都渐近于直线 $x=1$。 若曲线 $L$ 绕点 $A$ 旋转 $90^{\circ }$ 后能与自身重合，则其两条渐近线也必须绕 $A$ 点旋转 $90^{\circ }$ 后重合。 原本 $L_1$ 的水平渐近线为 $y=-a$（翻折后变为 $y=a$），铅直渐近线为 $x=1$。 点 $A(1+\frac{2}{a},0)$ 到铅直渐近线 $x=1$ 的距离为： $d_1=(1+\frac{2}{a})-1=\frac{2}{a}$。 点 $A(1+\frac{2}{a},0)$ 到水平渐近线 $y=a$（或 $y=-a$）的距离为： $d_2=|a-0|=a$。 要满足旋转 $90^{\circ }$ 的对称性，必须满足 $d_1=d_2$： $\frac{2}{a}=a⟹a^2=2⟹a=\sqrt{2}$。 修正更正： 在 $x>1$ 的条件下，双曲线 $y=\frac{2}{x-1}-a$ 的两条渐近线是 $x=1$ 和 $y=-a$。 点 $A$ 是曲线与 $x$ 轴的交点。 经过绝对值翻折后，$L$ 的两支分别趋向铅直渐近线 $x=1$ 和水平渐近线 $y=a$。 旋转 $90^{\circ }$ 对称要求 $A$ 到两条渐近线的距离必须相等。 即 $A$ 的横坐标与 $x=1$ 的差 等于 $A$ 的纵坐标（0）与渐近线 $y=a$ 的差： $(1+\frac{2}{a})-1=a-0⟹\frac{2}{a}=a⟹a=\sqrt{2}$。 （注：部分解析认为此题中 $2$ 是系数，$a_0$ 最终解得应为 $\sqrt{2}$。但若考虑上海卷常见凑整，请核对原题系数。依此逻辑结论为 $\sqrt{2}$。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 旋转对称性：如果一个图象绕点 $(x_0,y_0)$ 旋转 $90^{\circ }$ 不变，其渐近线必然垂直且到中心距离相等。
• 数形结合：绝对值符号起到了“翻折”作用，使得原本位于 $y=-a$ 的渐近线变成了 $y=a$，从而与 $x=1$ 形成了以 $A$ 为顶点的等腰直角三角形结构。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 中可以记录旋转变换的坐标公式： 点 $(x,y)$ 绕原点逆时针旋转 $90^{\circ }$ 后的坐标为 $(-y,x)$。 若绕任意点 $A(h,k)$ 旋转，可先平移至原点处理后再移回。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 16.05 对称性问题

类题演练 (Links)

• 2002-大纲理-10 单-反比例函数图象
• 2013-湖南卷理-08 单-重心性质
• 2014-山东卷理-08 单-绝对值函数