2014-山东卷理-08 单-绝对值函数

本题导读

本题考查函数与方程的综合应用。核心意图是利用数形结合的思想，将方程根的个数问题转化为两个函数图象交点的个数问题，通过分析动态直线的斜率范围得出结论。

📌【题干】

Question

（2014年山东卷(理)） 已知函数 $f(x)=|x-2|+1$，$g(x)=kx$.若方程 $f(x)=g(x)$ 有两个不相等的实根，则实数 $k$ 的取值范围是()

A. $(0,\frac{1}{2})$　　　　B. $(\frac{1}{2},1)$　　　　C. $(1,2)$　　　　D. $(2,+\infty )$

🔍【思路分析】

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1. 转化问题：方程 $f(x)=g(x)$ 有两个不相等的实根，等价于函数 $y=f(x)$ 的图象与直线 $y=g(x)$ 有两个不同的交点。
2. 绘制图象：
   • $f(x)=|x-2|+1$ 是一个“V”字形图象，顶点为 $(2,1)$。
   • $g(x)=kx$ 是过原点 $(0,0)$，斜率为 $k$ 的动态直线。
3. 分析临界状态：
   • 状态一：直线过点 $(2,1)$ 时。此时斜率 $k_1=\frac{1-0}{2-0}=\frac{1}{2}$。若 $k>\frac{1}{2}$，直线在 $x=2$ 右侧可能与射线交于一点，同时在 $x=2$ 左侧可能产生另一个交点。
   • 状态二：直线与 $f(x)$ 的左半部分射线 $y=-(x-2)+1=-x+3$ 或右半部分射线 $y=(x-2)+1=x-1$ 平行时。
4. 确定范围：根据图象交点个数的变化，确定 $k$ 的取值区间。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析函数 $f(x)$ 的结构 $f(x)=\{\begin{array}{ll}x-1,& x\ge 2\\ -x+3,& x<2\end{array}$ 该图象由两条射线组成，转折点（最低点）为 $M(2,1)$。

第二步：数形结合分析

• 直线 $y=kx$ 过原点 $O(0,0)$。
• 当直线经过点 $M(2,1)$ 时，斜率 $k=\frac{1}{2}$。此时只有一个交点。
• 当 $k>\frac{1}{2}$ 时，直线向上旋转，此时直线与 $f(x)$ 的左支 $y=-x+3$ 必有一个交点。
• 为了保证有“两个”交点，直线还必须与 $f(x)$ 的右支 $y=x-1$ 相交。
• 右支射线 $y=x-1$ 的斜率为 $1$。
  • 当 $k<1$ 时，由于直线斜率小于射线斜率，直线与右支必在远处相交。
  • 当 $k\ge 1$ 时，直线与右支平行或在其上方旋转，右侧将不再产生交点。

第三步：得出结论 综合上述分析，要使图象有两个不同交点，斜率 $k$ 必须满足： $\frac{1}{2}<k<1$ 即 $k\in (\frac{1}{2},1)$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值函数图象的绘制，直线斜率 $k$ 的几何意义。

2. 核心方法：临界点法。在处理此类动态问题时，先找“过顶点”和“平行”这两个特殊状态，范围往往就在临界值之间。

3. 避坑指南：容易忽略 $k=1$ 时的平行状态导致误选区间。记住：平行即无交点（在无穷远处也不相交）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 函数的零点存在性定理。

2. 结论推广: 方程 $|x-a|+b=k(x-c)+d$ 的根的问题，通用解法均为数形结合。

3. 方法推广: 面对含参数的函数交点问题，可以将参数分离，构造 $k=\frac{f(x)}{x}$ 研究函数值域，但在本题中几何法效率更高。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷理-23 解-绝对值函数
• 2015-湖北卷文-17 填-绝对值函数最值
• 2014-上海卷文-03 填-绝对值函数求值