2019-上海卷-19 解-弧长公式

本题导读

本题考查弧长公式。核心在于数学建模法、公式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年上海卷）如图，$A-B-C$ 为海岸线，$AB$ 为线段，$\stackrel{⌢}{\mathrm{BC}}$ 为四分之一圆弧，$BD=39.2\text{ km}$，$\angle BDC=22^{\circ }$，$\angle CBD=68^{\circ }$，$\angle BDA=58^{\circ }$。

(1)求 $\stackrel{⌢}{\mathrm{BC}}$ 长度；

(2)若 $AB=40\text{ km}$，求 $D$ 到海岸线 $A-B-C$ 的最短距离。（精确到 $0.001\text{ km}$）

🔍【思路分析】

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1. 第一问（弧长计算）：

• 求弦长：在 $△BDC$ 中，已知两角和一边，由 $\angle BDC+\angle CBD+\angle BCD=180^{\circ }$ 可知 $\angle BCD=90^{\circ }$。利用直角三角形边角关系 $BC=BD\cdot \sin 22^{\circ }$。
• 求半径：$\stackrel{⌢}{\mathrm{BC}}$ 为四分之一圆弧，意味着它对应的圆心角为 $\frac{\pi }{2}$。弦 $BC$ 与半径 $R$ 的关系为 $BC=\sqrt{2}R$（或利用等腰直角三角形关系）。
• 代入公式：弧长 $l=\frac{\pi }{2}R$。

2. 第二问（最短距离）：

• 距离比较：$D$ 到海岸线的距离需比较 $D$ 到线段 $AB$ 的垂线段距离 $DH$ 以及 $D$ 到圆弧 $\stackrel{⌢}{\mathrm{BC}}$ 的距离。
• 计算 DH：在 $△ABD$ 中，利用正弦定理求出 $\angle A$ 或 $\angle ABD$。过 $D$ 作 $AB$ 的垂线 $DH$，则 $DH=BD\cdot \sin \angle ABD$。
• 比较结论：比较 $DH$ 与 $D$ 到弧线各点的距离（通常是端点 $C$ 或垂足），得出最小值。

✅【答案】

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(1)$\stackrel{⌢}{\mathrm{BC}}$ 的长约为 $16.310$ km。

(2)最短距离约为 $35.752$ km。

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 在 $△BDC$ 中，$\angle BCD=180^{\circ }-22^{\circ }-68^{\circ }=90^{\circ }$。 所以 $BC=BD\cdot \sin 22^{\circ }$。 由于 $\stackrel{⌢}{\mathrm{BC}}$ 为四分之一圆弧，设该圆半径为 $R$， 则弦 $BC$ 对应的圆心角为 $90^{\circ }$，即 $△OBC$ 为等腰直角三角形（$O$ 为圆心）。 所以 $BC=\sqrt{2}R⟹R=\frac{BC}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}BC$。 弧 $\stackrel{⌢}{\mathrm{BC}}$ 长度为： $L=\frac{\pi }{2}R=\frac{\pi }{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}BC=\frac{\sqrt{2}\pi }{4}\cdot 39.2\cdot \sin 22^{\circ }$ 代入数值计算：$L\approx \frac{1.414\times 3.1416}{4}\times 39.2\times 0.3746\approx 16.310\text{ km}$。

(2)解： 在 $△ABD$ 中，由正弦定理 $\frac{BD}{\sin A}=\frac{AB}{\sin \angle BDA}$ 得： $\sin A=\frac{BD\cdot \sin 58^{\circ }}{AB}=\frac{39.2\cdot \sin 58^{\circ }}{40}\approx 0.831$。 由此得 $\angle A\approx 56.2^{\circ }$。 则 $\angle ABD=180^{\circ }-56.2^{\circ }-58^{\circ }=65.8^{\circ }$。 $D$ 到直线 $AB$ 的距离 $DH=BD\cdot \sin \angle ABD=39.2\times \sin 65.8^{\circ }\approx 35.752\text{ km}$。 由于垂足 $H$ 在线段 $AB$ 上（因为 $\angle A,\angle ABD$ 均为锐角），此为 $D$ 到线段 $AB$ 的最短距离。 又在 $△BDC$ 中，$CD=\frac{BD}{\cos 22^{\circ }}=\frac{39.2}{0.9272}\approx 42.278\text{ km}$（原解析图中 $CD$ 标注有误，需按几何关系计算），且 $D$ 到圆弧的最短距离为 $|DO-R|$。 经比较，$DH=35.752\text{ km}$ 为 $D$ 到整个海岸线的最小距离。 故 $D$ 到海岸线 $A-B-C$ 的最短距离为 $35.752\text{ km}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 实际问题的转化：海岸线是由线段和圆弧组成的，求点到海岸线的距离要分段讨论。
• 正弦定理的应用：在已知两边及其中一边的对角时，正弦定理是求角度的利器，但要注意解的个数（本题根据图形及物理背景取锐角）。
• 精度控制：应用题要求精确到 $0.001$，在中间计算步骤建议保留 4-5 位小数。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以整理弧、弦、半径之间的转换关系：

• 弧长 $l=\theta R$（$\theta$ 为弧度）。
• 弦长 $c=2R\sin (\frac{\theta }{2})$。
• 扇形面积 $S=\frac{1}{2}lR=\frac{1}{2}\theta R^2$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.03 解三角形与解的个数判定

类题演练 (Links)

• 2008-四川卷文-07 单-正弦定理倍角条件
• 2009-安徽卷文-16 解-正弦定理解三角形
• 2010-山东卷文-15 填-解三角形求角