2010-山东卷文-15 填-解三角形求角

本题导读

考查解三角形。$\sin B+\cos B=\sqrt{2}\sin \left(B+\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}$，故 $B=\frac{\pi }{4}$；由 $\frac{\sqrt{2}}{\sin A}=\frac{2}{\sin \frac{\pi }{4}}$ 得 $\sin A=\frac{1}{2}$，$A=\frac{\pi }{6}$。

📌【题干】

Question

（2010年山东卷(文)） 在 $△ABC$ 中，$A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，若 $a=\sqrt{2}$，$b=2$，$\sin B+\cos B=\sqrt{2}$，则角 $A$ 的大小为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. $\sin B+\cos B=\sqrt{2}\sin \left(B+\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\Rightarrow \sin \left(B+\frac{\pi }{4}\right)=1$。
2. $0<B<\pi$，$B+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$，故 $B=\frac{\pi }{4}$。
3. 正弦定理：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，即 $\frac{\sqrt{2}}{\sin A}=\frac{2}{\sin \frac{\pi }{4}}=\frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=2\sqrt{2}$。
4. $\sin A=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$。因 $a=\sqrt{2}<2=b$，故 $A<B=\frac{\pi }{4}$，$A=\frac{\pi }{6}$。

✅【答案】

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$\frac{\pi }{6}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\sin B+\cos B=\sqrt{2}$，即 $\sqrt{2}\sin \left(B+\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2},\text{得}\sin \left(B+\frac{\pi }{4}\right)=1.$ 因 $0<B<\pi$，$\frac{\pi }{4}<B+\frac{\pi }{4}<\frac{5\pi }{4}$，故 $B+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$，$B=\frac{\pi }{4}$. 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，得 $\frac{\sqrt{2}}{\sin A}=\frac{2}{\sin \frac{\pi }{4}}=\frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=2\sqrt{2},$ 所以 $\sin A=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$. 又 $a=\sqrt{2}<2=b$，故 $A<B=\frac{\pi }{4}$，在 $(0,\frac{\pi }{4})$ 内 $\sin A=\frac{1}{2}$ 的解为 $A=\frac{\pi }{6}$. 故角 $A$ 的大小为 $\frac{\pi }{6}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理与解三角形

核心方法：由 $\sin B+\cos B=\sqrt{2}$ 定 $B$，再用正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 求 $A$

避坑指南：$\sin B+\cos B=\sqrt{2}\sin \left(B+\frac{\pi }{4}\right)$，$B=\frac{\pi }{4}$ 而非 $\frac{3\pi }{4}$（后者超范围）；由 $a<b$ 知 $A<B$，锁定 $A=\frac{\pi }{6}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$\sin B+\cos B$ 型条件用辅助角公式化为单一正弦。

结论推广：$\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$；边角关系走正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$。

方法推广：解三角形求角时用”大边对大角”缩小范围，避免 $\sin A=\frac{1}{2}$ 在 $(0,\pi )$ 的多解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2009-湖南卷文-05 单-分类计数
• 2010-天津卷文-17 解-正弦定理与三角求值
• 2012-北京卷文-11 填-正弦定理解三角形
• 2013-山东卷文-07 单-解三角形倍角