2019-上海卷-21 解-数列新定义

本题导读

本题考查数列新定义。核心在于反证法、归纳推理法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年上海卷）数列 $\{a_n\}$ 有 100 项，$a_1=a$。对于任意 $n\in [2,100]$，存在 $a_n=a_i+d$，$i\in [1,n-1]$。若 $a_k$ 与前 $n$ 项中某一项相等，则称 $a_k$ 具有性质 $P$。

(1)若 $a_1=1,d=2$，求 $a_4$ 可能的值；

(2)若 $\{a_n\}$ 不为等差数列，求证：$\{a_n\}$ 中存在满足性质 $P$；

(3)若 $\{a_n\}$ 中恰有三项具有性质 $P$，这三项和为 $c$，使用 $a,d,c$ 表示 $a_1+a_2+\cdots +a_{100}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解定义：每一项都是前面某一项加上常数 $d$。如果没有重复（性质 $P$），那么每一项都必须是前一项加 $d$，从而构成等差数列。
2. 第一问（穷举）：根据递推关系逐级计算 $a_2,a_3,a_4$ 的所有可能路径。
3. 第二问（逻辑证明）：利用逆否命题。证明“若不存在性质 $P$ 的项，则数列必为等差数列”。通过递推发现，若不产生重复项，则 $a_n$ 只能由 $a_{n-1}$ 加上 $d$ 得到。
4. 第三问（去重求和）：若恰有三项重复，意味着去掉这三项后，剩下的 97 项构成了一个公差为 $d$ 的等差数列。利用等差数列求和公式加上这三项的和 $c$ 即可。

✅【答案】

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(1)$a_4$ 可能的值为 $\{3,5,7\}$。

(2)证明见解析。

(3)${\sum }_{i=1}^{100}{a}_i=97a+4656d+c$。

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 已知 $a_1=1,d=2$。 则 $a_2=a_1+d=3$。 $a_3$ 可能为 $a_1+d=3$（此时具有性质 $P$）或 $a_2+d=5$。 $a_4$ 可能的值：

• 若 $a_3=3$，则 $a_4$ 可为 $a_1+2=3,a_2+2=5,a_3+2=5$。
• 若 $a_3=5$，则 $a_4$ 可为 $a_1+2=3,a_2+2=5,a_3+2=7$。 综合得 $a_4$ 可能的值为 $\{3,5,7\}$。

(2)证明： 使用逆否命题证明：若 $\{a_n\}$ 中不存在满足性质 $P$ 的项，则 $\{a_n\}$ 是等差数列。 不存在性质 $P$ 意味着对于任意 $n\in [2,100]$，$a_n$ 与 $\{a_1,a_2,\dots ,a_{n-1}\}$ 中的项均不相等。 由题意，$a_2=a_1+d$。 对于 $a_3$，存在 $a_3=a_i+d$ ($i=1,2$)。

• 若 $i=1$，$a_3=a_1+d=a_2$，这与“不存在性质 $P$”矛盾。
• 故必有 $a_3=a_2+d$。 以此类推，假设 $a_{n-1}=a_{n-2}+d$ 成立，对于 $a_n$： 存在 $a_n=a_i+d$ ($i\in [1,n-1]$)。 若 $i<n-1$，则 $a_n=a_i+d=a_{i+1}$，产生性质 $P$，矛盾。 故必有 $a_n=a_{n-1}+d$。 所以 $\{a_n\}$ 是以 $a$ 为首项，$d$ 为公差的等差数列。 原命题得证。

(3)解： 将数列中具有性质 $P$ 的三项去掉，剩下 97 项形成新数列 $\{b_n\}$。 根据(2)的推理，若 $\{b_n\}$ 中不再含有性质 $P$ 的项，则 $\{b_n\}$ 必为等差数列。 且其首项 $b_1=a_1=a$，公差为 $d$。 这 97 项的和为： $S_{97}=97a+\frac{97\times 96}{2}d=97a+4656d$。 由于被去掉的三项之和为 $c$， 则原数列 100 项之和为： ${\sum }_{i=1}^{100}{a}_i=S_{97}+c=97a+4656d+c$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 新定义拆解：性质 $P$ 本质上是数列项的“重复性”。
• 等差数列的本质：等差数列是该递推规则下“最节约”空间（不产生重复）的一种排列方式。
• 数学建模思想：第三问的难点在于意识到去掉重复项后，剩下的序列必须保持“步进”状态才能满足总项数的要求。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以归纳此类“存在性证明”的套路：

1. 正面硬刚：直接构造出满足条件的项。
2. 反求诸己：证明其逆否命题或使用反证法（如本题）。
3. 鸽巢原理：若项数多于取值范围，则必有重复（性质 $P$）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质
• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2008-浙江卷文-18 解-数列分组求和
• 2010-江西卷理-04
• 2011-安徽卷理-11