2008-浙江卷文-18 解-数列分组求和

本题导读

本题由通项 $x_n=2^{n}p+nq$ 及 $x_1,x_4,x_5$ 成等差、$x_1=3$ 建立方程求 $p,q$；第(2)问把 $S_n$ 拆成等比求和与等差求和两部分。

📌【题干】

Question

（2008年浙江卷(文)） 已知数列 $\{x_n\}$ 的首项 $x_1=3$，通项 $x_n=2^{n}p+nq$（$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，$p$，$q$ 为常数），且 $x_1$，$x_4$，$x_5$ 成等差数列. 求：

(1)$p$，$q$ 的值；

(2)数列 $\{x_n\}$ 前 $n$ 项和 $S_n$ 的公式.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 由 $x_1=3$ 得 $2p+q=3$；由 $x_1,x_4,x_5$ 成等差得 $x_1+x_5=2x_4$，联立解 $p,q$。
2. (2) 代入 $p=q=1$ 得 $x_k=2^k+k$，前 $n$ 项和拆为等比数列与等差数列分别求和。

✅【答案】

点击查看答案

(1)$p=1$，$q=1$；(2)$S_n=2^{n+1}-2+\frac{n(n+1)}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)由通项公式，得 $x_1=2p+q$，$x_4=16p+4q$，$x_5=32p+5q$。由 $x_1=3$ 可得 $2p+q=3$。 因为 $x_1$，$x_4$，$x_5$ 成等差数列，所以 $x_1+x_5=2x_4$，即 $(2p+q)+(32p+5q)=2(16p+4q)$。 化简得 $p=q$。结合 $2p+q=3$，得 $3q=3$，所以 $q=1$，从而 $p=1$。 (2)由 $p=q=1$，得 $x_k=2^k+k$。因此 $S_n=\sum _{k=1}^n{x}_k=\sum _{k=1}^n{2}^k+\sum _{k=1}^{n}k=(2^{n+1}-2)+\frac{n(n+1)}{2}$。 所以 $S_n=2^{n+1}-2+\frac{n(n+1)}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列分组求和

核心方法：通项拆成等比与等差两部分分别求和

避坑指南：等比部分 $\sum 2^k=2^{n+1}-2$，别写成 $2^n-1$；等差部分 $\sum k=\frac{n(n+1)}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2009 浙江卷文第 20 题、2009 福建文第 17 题同考等差等比求和。

结论推广：通项可拆时，$S_n$ 按项分组分别求和。

方法推广：等比求和注意首项与公比，等差求和注意项数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-浙江卷文-20 解-等差数列通项等比
• 2009-辽宁卷文-17 解-等比数列求和
• 2010-大纲卷II文-18 解-等比数列通项与求和
• 2009-福建卷文-17 解-等差等比数列