2019-全国卷I文-14 填-等比数列

本题导读

本题考查等比数列的前 $n$ 项和。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷I(文)）记 $S_n$ 为等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和。若 $a_1=1$，$S_3=\frac{3}{4}$，则 $S_4=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 根据等比数列的前 $n$ 项和公式列出关于公比 $q$ 的方程。
2. 求出公比 $q$，进而求出 $S_4$。

✅【答案】

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$\frac{5}{8}$

✍【详细解析】

Abstract

设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$。 若 $q=1$，则 $S_3=3a_1=3$，与 $S_3=\frac{3}{4}$ 矛盾，故 $q\ne 1$。 因为 $S_3=\frac{a_1(1-q^3)}{1-q}=\frac{1(1-q^3)}{1-q}=1+q+q^2=\frac{3}{4}$， 化简得 $4q^2+4q+1=0$，即 $(2q+1{)}^2=0$，解得 $q=-\frac{1}{2}$。 则 $S_4=\frac{a_1(1-q^4)}{1-q}=\frac{1-(-\frac{1}{2}{)}^4}{1-(-\frac{1}{2})}=\frac{1-\frac{1}{16}}{\frac{3}{2}}=\frac{\frac{15}{16}}{\frac{3}{2}}=\frac{5}{8}$。 故答案为：$\frac{5}{8}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列前 $n$ 项和公式。
2. 核心方法：分类讨论（公比是否为1）与方程思想。
3. 避坑指南：注意当 $q=1$ 时的特例检验，防止思维定势。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 数列基础计算题。
2. 结论推广: 熟练掌握等比数列性质 $S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n}$ 的成比例性质。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷理-10 填-等比数列通项
• 2013-大纲卷理-06 单-等比数列定义与公比
• 1977-北京理-06