2013-大纲卷理-06 单-等比数列定义与公比

本题导读

本题考查等比数列，以及等比数列的定义与公比。

📌【题干】

Question

（2013年大纲卷(理)） 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $3a_{n+1}+a_n=0$，$a_2=-\frac{4}{3}$，则 $\{a_n\}$ 的前 $10$ 项和等于()

A. $-6(1-3^{-10})$　　　　　　　　　　　　　　　B. $\frac{1}{9}(1-3^{-10})$

C. $3(1-3^{-10})$　　　　　　　　　　　　　　　　D. $3(1+3^{-10})$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 判断数列类型：由 $3a_{n+1}+a_n=0$ 可得 $\frac{a_{n+1}}{a_n}=-\frac{1}{3}$。这符合等比数列的定义，说明该数列是公比 $q=-\frac{1}{3}$ 的等比数列。

2. 求首项 $a_1$：根据等比数列通项公式 $a_n=a_1{q}^{n-1}$，已知 $a_2=a_1\cdot q=-\frac{4}{3}$。代入 $q=-\frac{1}{3}$ 即可解出 $a_1$。

3. 应用求和公式：使用等比数列前 $n$ 项和公式 $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，代入 $a_1,q,n=10$。

4. 化简结果：注意负号和幂次的运算，将结果化为选项中的形式。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定公比 $q$

由 $3a_{n+1}+a_n=0$ 得：

$a_{n+1}=-\frac{1}{3}{a}_n⟹\frac{a_{n+1}}{a_n}=-\frac{1}{3}$

故数列 $\{a_n\}$ 是公比 $q=-\frac{1}{3}$ 的等比数列。

第二步：计算首项 $a_1$

已知 $a_2=-\frac{4}{3}$，且 $a_2=a_1\cdot q$。

则 $a_1\cdot (-\frac{1}{3})=-\frac{4}{3}⟹a_1=4$。

第三步：计算前 $10$ 项和 $S_{10}$

利用公式 $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$：

$S_{10}=\frac{4\cdot [1-(-\frac{1}{3}{)}^{10}]}{1-(-\frac{1}{3})}$

$S_{10}=\frac{4\cdot [1-(\frac{1}{3}{)}^{10}]}{\frac{4}{3}}$

$S_{10}=3\cdot [1-3^{-10}]$

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列的判定及其求和公式的灵活运用。

核心方法：“先求基本量，再代公式”。数列问题的核心通常是求出首项 $a_1$ 和公比 $q$（或公差 $d$）。

避坑指南：- 符号错误：$(-\frac{1}{3}{)}^{10}=(\frac{1}{3}{)}^{10}$，因为偶次幂会消去负号。但公式中是 $1-q^n$，所以中间的减号保留。 - 公式记忆：确保分母是 $1-q$ 而不是 $1+q$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比中项、等比数列的性质（如 $a_m{a}_n=a_p{a}_q$ 当 $m+n=p+q$ 时）。

结论推广：若递推式为 $p{a}_{n+1}+q{a}_n=0$，则该数列为等比数列，公比 $q_{ratio}=-q/p$。

方法推广：涉及数列求和，除了公式法，还需掌握错位相减法、裂项相消法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2026-新高考I卷-14 填-等比数列
• 2026-新高考II卷-10 多-等比数列
• 2026-上海卷-02 填-等比数列