2019-全国卷I文-17 解-样本估计总体

本题导读

本题考查用样本估计总体。核心在于公式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷I(文)）某商场为提高服务质量，随机调查了 50 名男顾客和 50 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到如下列联表：

	满意	不满意
男顾客	40	10
女顾客	30	20

(1) 分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；

(2) 能否有 $95\%$ 的把握认为男、女顾客对该商场的服务的评价有差异？ 附：$K^2=\frac{n(ad-bc{)}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$。

$P(K^2\ge k)$	0.050	0.010	0.001
$k$	3.841	6.635	10.828

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问直接利用样本中满意人数除以总人数计算频率，作为概率的估计值。
2. 第(2)问根据列联表数据代入独立性检验公式求出 $K^2$ 的观测值，与临界值 $3.841$ 进行比较作出判断。

✅【答案】

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(1)男、女顾客满意的概率估计值分别为 $0.8$、$0.6$。

(2)$K^2\approx 4.762>3.841$，有 $95\%$ 的把握认为评价有差异。

✍【详细解析】

Abstract

(1) 根据表格数据： 男顾客对该商场服务满意的概率估计值为 $\frac{40}{50}=0.8$； 女顾客对该商场服务满意的概率估计值为 $\frac{30}{50}=0.6$。

(2) 由题意知总样本量 $n=40+10+30+20=100$， 根据公式可得 $K^2$ 的观测值为： $K^2=\frac{100\times (40\times 20-10\times 30{)}^2}{(40+10)(30+20)(40+30)(10+20)}$ $=\frac{100\times (800-300{)}^2}{50\times 50\times 70\times 30}=\frac{100\times 500^2}{2500\times 2100}=\frac{25000000}{5250000}=\frac{100}{21}\approx 4.762$。 因为 $4.762>3.841$， 所以能有 $95\%$ 的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：样本频率估计概率、独立性检验。
2. 核心方法：公式准确代入与临界值对比。
3. 避坑指南：计算 $K^2$ 时，注意分母各项连乘的准确性，避免粗口算错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考统计与概率解答题的高频基础题型。
2. 结论推广: 熟练掌握独立性检验中不同显著性水平对应的临界值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 24.02 独立性检验与 2X2 列联表

类题演练 (Links)

• 2010-新课标卷文-19 解-独立性检验
• 2012-辽宁理-19
• 2018-全国卷III文-18 解-茎叶图