2010-新课标卷文-19 解-独立性检验

本题导读

考查统计。（1）$\frac{70}{500}=14\%$；（2）$K^2\approx 9.967>6.635$，有 $99\%$ 把握认为有关；（3）按性别分层抽样更好。

📌【题干】

Question

（2010年新课标卷(文)） 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了 $500$ 位老年人，结果如下： $\begin{array}{ccc}& \text{男}& \text{女}\\ \text{需要}& 40& 30\\ \text{不需要}& 160& 270\end{array}$

(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；

(2)能否有 $99\%$ 的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？

(3)根据(2)的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿者帮助的老年人的比例？说明理由. 附：$P(K^2⩾k)$：$0.050\to 3.841$，$0.010\to 6.635$，$0.001\to 10.828$；$K^2=\frac{n(ad-bc{)}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$.

🔍【思路分析】

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1.（1）需要帮助的样本有 $40+30=70$ 人，比例 $\frac{70}{500}=0.14$。 2.（2）$K^2=\frac{500(40\times 270-30\times 160{)}^2}{70\times 430\times 200\times 300}\approx 9.967>6.635$，有 $99\%$ 把握认为有关。 3.（3）需要与否与性别有关，故按性别分层抽样并按比例加权，可减小误差。

✅【答案】

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(1) $14\%$

(2) 有 $99\%$ 的把握认为有关

(3) 可采用按性别分层抽样的方法，理由见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）样本中需要志愿者帮助的老年人数为 $40+30=70$， 所以估计该地区老年人中需要志愿者提供帮助的比例为 $\frac{70}{500}=0.14$，即 $14\%$。 （2）取 $a=40$，$b=30$，$c=160$，$d=270$，$n=500$，则 $K^2=\frac{500\times (40\times 270-30\times 160{)}^2}{(40+30)(160+270)(40+160)(30+270)}\approx \mathrm{9.967.}$ 由于 $9.967>6.635$，所以在犯错误的概率不超过 $1\%$ 的前提下， 有 $99\%$ 的把握认为该地区老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关。 （3）由（2）知是否需要帮助与性别有关，且样本中男女比例未必反映总体结构， 故可采用按性别分层抽样的方法：分别确定男、女老年人中需要帮助的比例， 再按该地区男女老年人的人数比例加权估计总体比例，可减小抽样误差，估计更可靠。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：用样本估计总体与独立性检验

核心方法：$K^2$ 公式代值，与临界值 $6.635$ 比较下结论

避坑指南：$K^2$ 公式中 $a,b,c,d$ 的位置与列联表对应，代入前先核对；$9.967>6.635$ 对应 $99\%$ 而非 $99.9\%$ 把握。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：独立性检验的原假设是”两变量无关”，$K^2$ 越大越倾向于拒绝。

结论推广：临界值表：$3.841$（$95\%$）、$6.635$（$99\%$）、$10.828$（$99.9\%$）。

方法推广：第（3）问是开放性设问：由”与性别有关”自然引向分层抽样，扣”按比例加权”作答。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-19 解-分层抽样与频率分布
• 2009-山东卷文-19 解-分层抽样与概率
• 2009-天津卷文-18 解-分层抽样与古典概型
• 2009-大纲卷II文-20 解-分层抽样与概率