2019-全国卷I文-18 解-等差数列

本题导读

本题考查等差数列的通项公式。核心在于基本量法、不等式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷I(文)）记 $S_n$ 为等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $S_9=-a_5$。

(1) 若 $a_3=4$，求 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 若 $a_1>0$，求使得 $S_n\ge a_n$ 的 $n$ 的取值范围。

🔍【思路分析】

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1. 利用等差数列前 $n$ 项和公式及通项公式，将条件 $S_9=-a_5$ 转化为关于首项 $a_1$ 和公差 $d$ 的方程。
2. 第(1)问结合 $a_3=4$ 求出 $a_1$ 和 $d$，进而得到通项公式。
3. 第(2)问表示出 $S_n$ 与 $a_n$ 关于 $n$ 的不等式，结合 $a_1>0$ 求解 $n$ 的取值范围。

✅【答案】

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(1)$a_n=-2n+10$。

(2)$n\in \{1,2,\dots ,10\}$。

✍【详细解析】

Abstract

设等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差为 $d$。 因为 $S_9=9a_1+\frac{9\times (9-1)}{2}d=9a_1+36d$， 又 $a_5=a_1+4d$，由 $S_9=-a_5$ 得： $9a_1+36d=-(a_1+4d)⟹10a_1+40d=0⟹a_1+4d=0$，即 $a_5=0$。

(1) 若 $a_3=4$，则有： $\{\begin{array}{l}{a}_1+2d=4\\ a_1+4d=0\end{array}$ 两式相减得 $2d=-4⟹d=-2$，代入得 $a_1=8$。 故数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=a_1+(n-1)d=8+(n-1)(-2)=-2n+10$。

(2) 由 $a_1+4d=0$ 可知 $d=-\frac{1}{4}{a}_1$。 因为 $S_n\ge a_n$，即 $n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d\ge a_1+(n-1)d$， 代入 $d=-\frac{1}{4}{a}_1$ 得： $n{a}_1-\frac{n(n-1)}{8}{a}_1\ge a_1-\frac{n-1}{4}{a}_1$。 因为 $a_1>0$（两边同除以 $a_1$ 且不等号方向不变）： $n-\frac{n(n-1)}{8}\ge 1-\frac{n-1}{4}$ 同乘以 8 去分母： $8n-n(n-1)\ge 8-2(n-1)$ $8n-n^2+n\ge 8-2n+2$ $9n-n^2\ge -2n+10$ 移项整理得 $n^2-11n+10\le 0$， 即 $(n-1)(n-10)\le 0$， 解得 $1\le n\le 10$。 又因为 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，所以 $n$ 的取值范围是 $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$（或写为 $n\in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列通项与前 $n$ 项和的恒等变形。
2. 核心方法：基本量法（方程组联立）与不等式整数解求解。
3. 避坑指南：第(2)问中注意 $n$ 必须是正整数，且不等式化简时不要漏掉系数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考数列解答题的第一问标准配置。
2. 结论推广: 熟练掌握等差数列中 $S_n$ 与 $a_n$ 极值及不等式恒成立问题的处理方法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷理-17 解-等差数列通项
• 2013-四川卷理-16 解-等差数列通项与前n项和公式
• 2013-山东卷理-20 解-等差数列通项与前n项和