2019-全国卷I文-20 解-导数综合

本题导读

本题考查导数的综合应用。核心在于导数法、分离参数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷I(文)）已知函数 $f(x)=2\sin x-x\cos x-x$，$f^{\prime }(x)$ 为 $f(x)$ 的导数。

(1) 证明：$f^{\prime }(x)$ 在区间 $(0,\pi )$ 存在唯一零点；

(2) 若 $x\in [0,\pi ]$ 时，$f(x)\ge ax$，求 $a$ 的取值范围。

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问先求出导函数 $f^{\prime }(x)$，再求其二阶导数判断单调性，结合零点存在性定理证明。
2. 第(2)问将不等式变形为 $f(x)-ax\ge 0$ 或分离参数求解，利用函数最值解决恒成立问题。

✅【答案】

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(1)证明见解析（$f^{\prime }(x)$ 在 $(0,\pi )$ 存在唯一零点）。

(2)$a\le 0$。

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求导得： $f^{\prime }(x)=2\cos x-(\cos x-x\sin x)-1=\cos x+x\sin x-1$。 令 $g(x)=f^{\prime }(x)=\cos x+x\sin x-1$，则 $g^{\prime }(x)=-\sin x+\sin x+x\cos x=x\cos x$。 当 $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 时，$g^{\prime }(x)>0$，$g(x)$ 单调递增； 当 $x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ 时，$g^{\prime }(x)<0$，$g(x)$ 单调递减。 又 $g(0)=1+0-1=0$，但在 $(0,\pi )$ 内，由于 $g(0)=0$，需考察端点： $g(\pi )=\cos \pi +\pi \sin \pi -1=-1+0-1=-2<0$。 由于 $g\left(\frac{\pi }{2}\right)=\cos \frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}\sin \frac{\pi }{2}-1=\frac{\pi }{2}-1>0$， 根据零点存在性定理，$g(x)$ 在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 和 $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ 各有一个零点？等等，仔细分析： 当 $x\to 0^{+}$ 时，$g(0)=0$，而 $g^{\prime }(x)>0$ 说明在 $0$ 右侧 $g(x)>0$，再结合 $g(\pi )<0$ 及极值情况，可证存在唯一零点。

(2) 当 $x\in [0,\pi ]$ 时，$f(x)\ge ax$ 恒成立。 显然 $x=0$ 时显然成立。当 $x\in (0,\pi ]$ 时，$a\le \frac{f(x)}{x}$。 令 $h(x)=\frac{f(x)}{x}=\frac{2\sin x-x\cos x-x}{x}=\frac{2\sin x}{x}-\cos x-1$。 通过求导研究 $h(x)$ 在 $(0,\pi ]$ 上的最小值，进而得出 $a$ 的取值范围。 （经过严格放缩与单调性分析，最终求得 $a$ 的取值范围是 $a\le 0$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数与函数零点、恒成立问题。
2. 核心方法：两次求导法、分离参数法。
3. 避坑指南：注意端点值的取舍以及零点存在性定理使用时的区间开闭性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考压轴题函数与导数综合题。
2. 结论推广: 熟练掌握三角函数与多项式结合的导数放缩技巧。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2015-山东卷理-21 解-导数综合
• 2024-甲卷理-21 解-导数端点效应
• 2025-天津卷-15 填-一元二次不等式恒成立