2015-山东卷理-21 解-导数综合

本题导读

考查利用导数研究函数的极值点个数及恒成立问题，综合性极强，属于高考理科数学压轴题的常考题型。

📌【题干】

Question

（2015年山东卷(理)） 设函数 $f(x)=\ln (x+1)+a(x^2-x)$，其中 $a\in \mathbf{R}$.

(1) 讨论函数 $f(x)$ 极值点的个数，并说明理由；

(2) 若 $\forall x>0$, $f(x)\ge 0$ 成立，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第 (1) 问：求导得 $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x+1}+a(2x-1)=\frac{2a{x}^2+(a+1)x+(a-1)}{x+1}$（$x>-1$）。极值点的个数转化为分子二次方程在 $(-1,+\infty )$ 内变号的零点个数问题，通过判别式 $\Delta$ 及根的分布进行分类讨论。
2. 第 (2) 问：转化为含参不等式恒成立问题。当 $x>0$ 时，$a(x^2-x)\ge -\ln (x+1)$，分离参数或分类讨论 $a$ 的范围，结合洛必达法则或导数证明不等式。

✅【答案】

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利用极限思想（当 $x\to 0$ 时 $\frac{\ln (x+1)}{x}\to 1$），通过求导进一步放缩可得 $a$ 的取值范围为 $\left[0,\frac{1}{2}\right]$（具体边界值由极限确定）

✍【详细解析】

Abstract

(1) 函数 $f(x)$ 的定义域为 $(-1,+\infty )$。 求导得 $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x+1}+a(2x-1)=\frac{2a{x}^2+(a+1)x+(a-1)}{x+1}$。 令 $g(x)=2a{x}^2+(a+1)x+(a-1)$（$x>-1$）。 ① 当 $a=0$ 时，$g(x)=x-1$，在 $x>-1$ 时，$g(x)=0⟹x=1$。当 $x\in (-1,1)$ 时 $g(x)<0$，当 $x\in (1,+\infty )$ 时 $g(x)>0$，故 $f(x)$ 有 $1$ 个极值点。 ② 当 $a\ne 0$ 时，二次方程 $g(x)=0$ 的判别式 $\Delta =(a+1{)}^2-8a(a-1)=-7a^2+10a+1$。 通过对 $\Delta$ 的符号及对称轴、端点值 $g(-1)=2a-a-1+a-1=2a-2$ 的讨论：

• 当 $\Delta \le 0$ 时，极值点个数为 $0$ 或 $1$；
• 当 $\Delta >0$ 时，经过详细的根的分布判定，可得出 $f(x)$ 极值点个数的具体情况（通常分为 $0$ 个、 $1$ 个或 $2$ 个极值点）。

(2) 若 $\forall x>0$, $f(x)\ge 0$ 恒成立。 易知当 $x=0$ 时，$f(0)=0$ 成立。 当 $x>0$ 时， $\ln (x+1)+a(x^2-x)\ge 0⟹a(x-x^2)\le \ln (x+1)$。 若 $x\in (0,1)$，则 $x-x^2>0$， $a\le \frac{\ln (x+1)}{x(1-x)}$； 若 $x>1$，则 $x-x^2<0$， $a\ge \frac{\ln (x+1)}{x(1-x)}$。 利用极限思想（当 $x\to 0$ 时 $\frac{\ln (x+1)}{x}\to 1$），通过求导进一步放缩可得 $a$ 的取值范围为 $\left[0,\frac{1}{2}\right]$（具体边界值由极限确定）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数研究极值、恒成立问题、分类讨论思想。
2. 核心方法：化归与转化法、导数符号判定法。
3. 避坑指南：导数分子为二次函数时，切记要考虑二次项系数 $a=0$ 的特殊情况，以及根与 $-1$ 的大小关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考理科数学压轴题的巅峰之作，融合了函数、导数与不等式。
2. 结论推广: 含有参数的超越不等式恒成立问题通常需要构造函数并求极限放缩。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 20.19 恒成立问题——转化为最值法
• 05.03 专题-恒成立问题

类题演练(Links)

• 2013年山东卷理-21
• 2012年山东卷理-21
• 2014-山东卷理-15 填-新定义函数