2019-全国卷I理-14 填-等比数列

本题导读

本题考查等比数列的通项公式，以及等比数列的前 n 项和公式。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷I(理)）记 $S_n$ 为等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_1=\frac{1}{3}$，$a_4^2=a_6$，则 $S_5=$ $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定基本量：等比数列的核心是首项 $a_1$ 和公比 $q$。已知 $a_1=\frac{1}{3}$，只需根据已知等式求出 $q$。
2. 建立方程：利用通项公式 $a_n=a_1{q}^{n-1}$，将 $a_4$ 和 $a_6$ 用 $a_1$ 和 $q$ 表示。

• $a_4=a_1{q}^3$
• $a_6=a_1{q}^5$
• 代入 $a_4^2=a_6$ 得到关于 $q$ 的方程。

3. 计算前 n 项和：求出 $q$ 后，利用等比数列求和公式 $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$ 计算 $S_5$。

✅【答案】

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$\frac{121}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\frac{121}{3}$

【解析过程】 第一步：求公比 $q$ 设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$。 因为 $a_4^2=a_6$，代入通项公式得： $(a_1{q}^3{)}^2=a_1{q}^5$ $a_1^2{q}^6=a_1{q}^5$ 已知 $a_1=\frac{1}{3}\ne 0$ 且 $q\ne 0$（等比数列项不为 0），等式两边同时约去 $a_1{q}^5$ 得： $a_{1}q=1$ 将 $a_1=\frac{1}{3}$ 代入得： $\frac{1}{3}q=1⟹q=3$。

第二步：计算 $S_5$ 已知 $a_1=\frac{1}{3},q=3,n=5$。 代入等比数列前 $n$ 项和公式： $S_5=\frac{a_1(1-q^5)}{1-q}=\frac{\frac{1}{3}(1-3^5)}{1-3}$ $S_5=\frac{\frac{1}{3}(1-243)}{-2}$ $S_5=\frac{\frac{1}{3}\times (-242)}{-2}$ $S_5=\frac{242}{3\times 2}=\frac{121}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 公式熟练度：通项公式与求和公式的灵活运用是解题基础。注意当 $q=1$ 时，求和公式为 $S_n=n{a}_1$，本题 $q=3$ 不适用此情况。
• 幂的运算：计算过程中涉及 $(q^3{)}^2=q^6$，考生需注意指数运算规则。
• 计算陷阱：最后的繁分式计算容易出现正负号或系数丢失，需细心复核。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 下标性质：若 $m+n=p+k$，则 $a_m\cdot a_n=a_p\cdot a_k$。例如本题中，若 $a_1,a_4,a_7$ 这种等间隔项依然构成等比数列。
2. 符号问题：等比数列的公比 $q$ 可能为负值。在本题解方程时，通过 $a_{1}q=1$ 直接确定了 $q$ 的唯一性，简化了讨论。
3. 和的性质：$S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n}$ 依然成等比数列（若项不为 0）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2008-浙江卷文-04 单-等比数列公比
• 2013-北京卷理-10 填-等比数列通项
• 2013-新课标II卷理-03 单-等比数列通项