2019-全国卷I理-16 填-双曲线性质

本题导读

本题考查双曲线的几何性质，以及平面向量的线性运算。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷I(理)）已知双曲线 $C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，过 $F_1$ 的直线与 $C$ 的两条渐近线分别交于 $A,B$ 两点．若 $\overrightarrow{F_{1}A}=\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{F_{1}B}\cdot \overrightarrow{F_{2}B}=0$，则 $C$ 的离心率为 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. 解读向量条件：

• $\overrightarrow{F_{1}A}=\overrightarrow{AB}$ 表示点 $A$ 是线段 $F_{1}B$ 的中点。
• $\overrightarrow{F_{1}B}\cdot \overrightarrow{F_{2}B}=0$ 表示 $F_{1}B\perp F_{2}B$，即 $△F_{1}B{F}_2$ 是直角三角形。

2. 几何性质关联：

• 在 $△F_{1}B{F}_2$ 中，$O$ 是底边 $F_1{F}_2$ 的中点，$A$ 是腰 $F_{1}B$ 的中点，因此 $OA$ 是该三角形的中位线。
• 结论：$OA//B{F}_2$ 且 $OA=\frac{1}{2}B{F}_2$。

3. 确定垂直与等量关系：

• 因为 $F_{1}B\perp F_{2}B$，且 $OA//B{F}_2$，所以 $OA\perp F_{1}B$。
• 在 $△O{F}_{1}B$ 中，$OA$ 既是高线又是中线（$F_{1}A=AB$），故 $△O{F}_{1}B$ 是等腰三角形，$O{F}_1=OB$。

4. 推导角度求离心率：

• 利用 $O$ 点处各角的关系（渐近线的对称性）求出渐近线的倾斜角，进而求出 $\frac{b}{a}$ 和 $e$。

✅【答案】

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2

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 2

【解析过程】 第一步：几何位置判定 由 $\overrightarrow{F_{1}A}=\overrightarrow{AB}$ 知 $A$ 为 $F_{1}B$ 中点。 由 $O$ 为 $F_1{F}_2$ 中点，得 $OA$ 是 $△F_{1}B{F}_2$ 的中位线。 故 $OA//B{F}_2$。 由 $\overrightarrow{F_{1}B}\cdot \overrightarrow{F_{2}B}=0$ 知 $F_{1}B\perp F_{2}B$。 结合 $OA//B{F}_2$，得 $OA\perp F_{1}B$。

第二步：利用等腰三角形性质 在 $△O{F}_{1}B$ 中，由于 $OA\perp F_{1}B$ 且 $A$ 是 $F_{1}B$ 的中点， 所以 $OA$ 是线段 $F_{1}B$ 的垂直平分线。 从而 $O{F}_1=OB=c$。 在 $Rt△F_{1}B{F}_2$ 中，$OB$ 是斜边 $F_1{F}_2$ 上的中线，性质 $OB=\frac{1}{2}{F}_1{F}_2=c$ 亦成立。

第三步：确定渐近线角度 由于点 $A,B$ 分别在两条渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$ 上，且 $OA\perp AB$， 设渐近线 $OB$ 的倾斜角为 $\alpha$，渐近线 $OA$ 的角为 $\pi -\alpha$。 在 $△O{F}_{1}B$ 中，$O{F}_1=OB$，这是一个等腰三角形。 且 $OA$ 平分 $\angle F_{1}OB$（三线合一）， 所以 $\angle F_{1}OA=\angle AOB$。 由对称性，$\angle F_{1}OA=\angle F_{2}OB$。 故 $\angle F_{1}OA=\angle AOB=\angle BO{F}_2=60^{\circ }$。

第四步：计算离心率 渐近线 $OB$ 的倾斜角为 $60^{\circ }$， 所以 $\frac{b}{a}=\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}$。 离心率 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+(\frac{b}{a}{)}^2}=\sqrt{1+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{4}=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 向量与几何的转化：向量是解决解析几何位置关系的利器。看到“向量相等”想中点，看到“点乘为零”想垂直。
• 中位线是桥梁：本题的关键点在于识别出 $OA$ 是中位线，从而将焦点的距离关系转化到渐近线上。
• 特殊角意识：双曲线离心率为 2 是极其经典的情形，对应渐近线夹角为 $60^{\circ }$ 或 $120^{\circ }$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. $e=2$：渐近线与实轴夹角为 $60^{\circ }$，$\frac{b}{a}=\sqrt{3}$。
2. 等轴双曲线 ($e=\sqrt{2}$)：渐近线互相垂直，$a=b$。
3. 渐近线夹角与 $e$：若渐近线夹角为 $2\theta$（包含实轴），则 $e=\frac{1}{\cos \theta }$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2008-大纲卷I文-22 解-双曲线渐近线弦长
• 2008-安徽卷文-14 填-双曲线离心率
• 2008-江西卷文-16 填-正六边形向量数量积