2019-全国卷I理-17 解-解三角形

本题导读

本题考查正弦定理与余弦定理的综合应用。核心在于边往角转 / 角往边转、方程组法 / 辅助角法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷I(理)）$△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，设 $(\sin B-\sin C{)}^2={\sin }^{2}A-\sin B\sin C$．

(1)求 $A$；

(2)若 $\sqrt{2}a+b=2c$，求 $\sin C$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（求角）：

   • 展开已知等式：${\sin }^{2}B-2\sin B\sin C+{\sin }^{2}C={\sin }^{2}A-\sin B\sin C$。

   • 整理得：${\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C-{\sin }^{2}A=\sin B\sin C$。

   • 利用正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ 进行“角转边”，转化出余弦定理的结构。

2. 第二问（求值）：

   • 利用正弦定理将已知边长关系 $\sqrt{2}a+b=2c$ 转化为角度关系：$\sqrt{2}\sin A+\sin B=2\sin C$。

   • 代入 $A=\frac{\pi }{3}$，并利用消元思想，将 $\sin B$ 替换为 $\sin (A+C)$。

   • 通过辅助角公式或两角和公式展开，构造关于 $C$ 的三角方程。

✅【答案】

点击查看答案

(1)$A=\frac{\pi }{3}$。

(2)$\sin C=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$。

✍【详细解析】

Abstract

(1)解：

展开已知等式得：

${\sin }^{2}B-2\sin B\sin C+{\sin }^{2}C={\sin }^{2}A-\sin B\sin C$

整理得：${\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C-{\sin }^{2}A=\sin B\sin C$

由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ 可得：

$b^2+c^2-a^2=bc$

根据余弦定理：

$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{bc}{2bc}=\frac{1}{2}$

因为 $0<A<\pi$，

所以 $A=\frac{\pi }{3}$．

(2)解：

由正弦定理及 $\sqrt{2}a+b=2c$ 得：

$\sqrt{2}\sin A+\sin B=2\sin C$

代入 $A=\frac{\pi }{3}$ 得：

$\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\sin B=2\sin C$ ①

在 $△ABC$ 中，$B=\pi -(A+C)=\frac{2\pi }{3}-C$，

所以 $\sin B=\sin (\frac{2\pi }{3}-C)=\sin \frac{2\pi }{3}\cos C-\cos \frac{2\pi }{3}\sin C$

$\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos C+\frac{1}{2}\sin C$

代入 ① 式得：

$\frac{\sqrt{6}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos C+\frac{1}{2}\sin C=2\sin C$

整理得：$\frac{3}{2}\sin C-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos C=\frac{\sqrt{6}}{2}$

即 $3\sin C-\sqrt{3}\cos C=\sqrt{6}$

提取 $2\sqrt{3}$（或利用辅助角）：

$2\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin C-\frac{1}{2}\cos C)=\sqrt{6}$

$2\sqrt{3}\sin (C-\frac{\pi }{6})=\sqrt{6}$

$\sin (C-\frac{\pi }{6})=\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

因为 $0<C<\frac{2\pi }{3}$，则 $-\frac{\pi }{6}<C-\frac{\pi }{6}<\frac{\pi }{2}$，

所以 $C-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{4}$，即 $C=\frac{5\pi }{12}$．

则 $\sin C=\sin (\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{6})=\sin \frac{\pi }{4}\cos \frac{\pi }{6}+\cos \frac{\pi }{4}\sin \frac{\pi }{6}$

$\sin C=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 公式选择：看到平方项且满足 $a^2,b^2,c^2$ 组合，首选余弦定理；看到一次项比值，首选正弦定理。

• 范围控制：在第二问求 $C-\frac{\pi }{6}$ 时，必须根据 $A+C<\pi$ 严格限定 $C$ 的取值范围，否则容易产生多解（虽本题通过辅助角范围排除了多解）。

• 特殊角计算：$\sin 75^{\circ }$（即 $\frac{5\pi }{12}$）是高考常客，熟记其结果 $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ 可作为检查依据。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 角化边：用于处理含 ${\sin }^{2}A$ 等二次项的等式。

2. 边化角：用于处理含 $a,b,c$ 一次项的等式，配合 $\sin (A+C)$ 消元。

3. 射影定理：$a=b\cos C+c\cos B$，在处理含边长与余弦混合的题目时有奇效。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形
• 2014-新课标I卷理-16 填-正弦定理
• 2014-陕西卷文-16 解-解三角形