2014-陕西卷文-16 解-解三角形

本题导读

(1) 等差条件 $a+c=2b$ 用正弦定理化为角的等式，再用诱导公式；(2) 等比条件给出 $b^2=ac$，与 $c=2a$ 一起定出三边比例。

📌【题干】

Question

（2014年陕西卷(文)） $△ABC$ 的内角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$.

(1) 若 $a$，$b$，$c$ 成等差数列，证明：$\sin A+\sin C=2\sin (A+C)$；

(2) 若 $a$，$b$，$c$ 成等比数列，且 $c=2a$，求 $\cos B$ 的值.

🔍【思路分析】

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(1) 化边为角，再用 $\sin B=\sin (A+C)$；(2) $b^2=ac$ 且 $c=2a$，代入余弦定理。

✅【答案】

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(1) 证明见解析；(2) $\cos B=\frac{3}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由 $a$，$b$，$c$ 成等差数列得 $a+c=2b$。 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，得 $\sin A+\sin C=2\sin B$。 又 $A+B+C=\pi$，故 $B=\pi -(A+C)$，$\sin B=\sin [\pi -(A+C)]=\sin (A+C)$。 所以 $\sin A+\sin C=2\sin (A+C)$。 (2) 由 $a$，$b$，$c$ 成等比数列得 $b^2=ac$；又 $c=2a$，所以 $b^2=2a^2$，$b=\sqrt{2}a$。 由余弦定理， $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{a^2+4a^2-2a^2}{2\times a\times 2a}=\frac{3a^2}{4a^2}=\frac{3}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理、余弦定理与等差等比条件

2. 核心方法：边角互化后用余弦定理

3. 避坑指南：(1) 由 $a+c=2b$ 经正弦定理化为 $\sin A+\sin C=2\sin B$，再用 $B=\pi -(A+C)$ 换掉 $\sin B$；(2) 先由 $b^2=ac$、$c=2a$ 定出三边比例，再代余弦定理，不必求角。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 正弦定理、余弦定理与三角形中的边角转化。

2. 结论推广: $a\sin B=b\sin A$ 等边角互化式；$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$。

3. 方法推广: 「成等差／成等比」的条件一律先写成边的关系，再决定用正弦定理（化边为角）还是余弦定理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2014-陕西卷理-16 解-正余弦定理
• 2014-新课标II卷文-17 解-解三角形四边形