2019-全国卷I理-19 解-抛物线焦半径

本题导读

本题考查抛物线的定义与焦半径公式。核心在于韦达定理法、焦半径公式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷I(理)）已知抛物线 $C：y^2=3x$ 的焦点为 $F$，斜率为 $\frac{3}{2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的交点为 $A,B$，与 $x$ 轴的交点为 $P$．

(1)若 $|AF|+|BF|=4$，求 $l$ 的方程；

(2)若 $\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{PB}$，求 $|AB|$．

🔍【思路分析】

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1. 第一问（求直线方程）：

   • 提取几何信息：抛物线 $y^2=2px=3x$，则 $p=\frac{3}{2}$，准线方程为 $x=-\frac{3}{4}$。

   • 应用定义：根据抛物线定义，焦点到点 $A(x_1,y_1)$ 的距离 $|AF|=x_1+\frac{p}{2}=x_1+\frac{3}{4}$。

   • 建立等式：$|AF|+|BF|=x_1+x_2+\frac{3}{2}=4$，得出 $x_1+x_2=\frac{5}{2}$。

   • 联立求截距：设直线 $l:y=\frac{3}{2}x+m$，联立抛物线方程，利用韦达定理求解 $m$。

2. 第二问（求弦长）：

   • 向量转化：设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，$P$ 在 $x$ 轴上，其纵坐标 $y_P=0$。由 $\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{PB}$，根据纵坐标比例得 $0-y_1=3(y_2-0)$，即 $y_1=-3y_2$。

   • 联立方程：设直线 $l:x=\frac{2}{3}y+t$（这种形式处理 $y$ 的韦达定理更简洁），联立 $y^2=3x$ 得 $y^2-2y-3t=0$。

   • 求点坐标：利用 $y_1+y_2=2$ 结合 $y_1=-3y_2$ 求出 $y_1,y_2$。

   • 求弦长：利用弦长公式 $|AB|=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}|y_1-y_2|$。

✅【答案】

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(1)$l$ 的方程为 $3x-2y-2=0$。

(2)$|AB|=\frac{4\sqrt{13}}{3}$。

✍【详细解析】

Abstract

(1)解：

由抛物线 $C:y^2=3x$ 得 $p=\frac{3}{2}$，焦点 $F(\frac{3}{4},0)$．

设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则由抛物线定义得：

$|AF|=x_1+\frac{3}{4},|BF|=x_2+\frac{3}{4}$．

$\because |AF|+|BF|=x_1+x_2+\frac{3}{2}=4$

$\therefore x_1+x_2=\frac{5}{2}$．

设直线 $l:y=\frac{3}{2}x+m$，代入 $y^2=3x$ 得：

$(\frac{3}{2}x+m{)}^2=3x⟹\frac{9}{4}{x}^2+(3m-3)x+m^2=0$

即 $9x^2+(12m-12)x+4m^2=0$．

由韦达定理得 $x_1+x_2=-\frac{12m-12}{9}=\frac{5}{2}$

解得 $m=-\frac{7}{8}$．

检查判别式：$\Delta =(12m-12{)}^2-4\cdot 9\cdot 4m^2=144(m-1{)}^2-144m^2=144(1-2m)$．

当 $m=-\frac{7}{8}$ 时，$\Delta >0$ 成立．

所以直线 $l$ 的方程为 $y=\frac{3}{2}x-\frac{7}{8}$，即 $12x-8y-7=0$．

(2)解：

设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),P(x_P,0)$．

由 $\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{PB}$，得 $(x_P-x_1,0-y_1)=3(x_2-x_P,y_2-0)$

$\therefore -y_1=3y_2$，即 $y_1=-3y_2$．

设直线 $l$ 的方程为 $x=\frac{2}{3}y+t$，代入 $y^2=3x$ 得：

$y^2=3(\frac{2}{3}y+t)⟹y^2-2y-3t=0$．

由韦达定理得 $y_1+y_2=2$．

结合 $y_1=-3y_2$ 解得：

$y_2=-1,y_1=3$．

则 $|y_1-y_2|=|3-(-1)|=4$．

由于直线斜率 $k=\frac{3}{2}$，其弦长公式为：

$|AB|=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}|y_1-y_2|=\sqrt{1+\frac{4}{9}}\times 4=\sqrt{\frac{13}{9}}\times 4=\frac{4\sqrt{13}}{3}$．

所以 $|AB|=\frac{4\sqrt{13}}{3}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 定义法优先：在涉及抛物线焦点距离（焦半径）的问题时，优先使用定义 $r=x+\frac{p}{2}$，避免复杂的距离公式计算。

• 设 $x=f(y)$ 的技巧：当直线斜率不为 0 时，设 $x=my+t$ 联立二次曲线，在处理关于纵坐标 $y$ 的对称性或比例关系时往往更简洁。

• 向量与坐标：$\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{PB}$ 这种分点关系在解析几何中非常常见，直接转化为坐标线性关系即可，不需要设分点坐标。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 焦点弦长：若直线过焦点，则 $|AB|=x_1+x_2+p=\frac{2p}{{\sin }^2\theta }$（$\theta$ 为倾斜角）。

2. 纵坐标乘积：若直线过焦点，则 $y_1{y}_2=-p^2$。

3. 调和平均：若 $F$ 是 $AB$ 上的点，则 $\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}=\frac{2}{p}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷文-10 单-抛物线焦半径
• 2014-新课标I卷理-10 单-抛物线定义
• 2000-广东卷理-14 填-椭圆的标准方程与几何性质