2019-全国卷II文-06 单-函数奇偶性

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及求函数解析式。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷II(文)）设 $f(x)$ 为奇函数，且当 $x\ge 0$ 时，$f(x)={\mathrm{e}}^x-1$，则当 $x<0$ 时，$f(x)=$ ()

A. ${\mathrm{e}}^{-x}-1$　　　B. ${\mathrm{e}}^{-x}+1$　　　C. $-{\mathrm{e}}^{-x}-1$　　　D. $-{\mathrm{e}}^{-x}+1$

🔍【思路分析】

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1. 求当 $x<0$ 时的解析式，可设 $x<0$，则 $-x>0$。
2. 利用已知条件求出 $f(-x)$ 的表达式。
3. 结合奇函数性质 $f(-x)=-f(x)$ 得到 $f(x)=-f(-x)$ 求解。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

设 $x<0$，则 $-x>0$。 因为当 $x\ge 0$ 时，$f(x)={\mathrm{e}}^x-1$， 所以 $f(-x)={\mathrm{e}}^{-x}-1$。 又因为 $f(x)$ 为奇函数，所以 $f(-x)=-f(x)$， 即 $f(x)=-f(-x)=-({\mathrm{e}}^{-x}-1)=-{\mathrm{e}}^{-x}+1$。 故选：(D)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数奇偶性的应用。
2. 核心方法：利用 $f(-x)=-f(x)$（奇函数）进行整体代换。
3. 避坑指南：注意符号处理，代入 $-x$ 时切记加括号防止符号出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 函数性质基础题。
2. 结论推广: 熟练掌握已知正半轴解析式求负半轴解析式的“对称赋值法”。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2003-北京卷理-11
• 2015-北京卷文-3
• 2023-新高考II卷-04 单-函数性质