2023-新高考II卷-04 单-函数性质

本题导读

本题考查函数的奇偶性定义，以及奇偶性的四则运算。

📌【题干】

Question

（2023年新高考II卷）若 $f(x)=(x+a)\ln \frac{2x-1}{2x+1}$ 为偶函数，则 $a=$（ ）

A. $-1$　　　　　　　B. $0$　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 方法一：特殊值法（最快）：利用偶函数定义 $f(1)=f(-1)$（或取其他在定义域内的对称值），代入函数解析式建立关于 $a$ 的方程求解。
2. 方法二：性质运算法（最稳）：

• 首先判定内层对数函数 $g(x)=\ln \frac{2x-1}{2x+1}$ 的奇偶性。
• 根据“偶函数 = 奇函数 $\times$ 奇函数”或“偶函数 = 偶函数 $\times$ 偶函数”的结论，确定一次函数 $h(x)=x+a$ 应具备的奇偶性，从而得到 $a$。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

解法一：特殊值法 由于 $f(x)$ 是偶函数，则对于定义域内任意 $x$，都有 $f(-x)=f(x)$。 取 $x=1$： $f(1)=(1+a)\ln \frac{2(1)-1}{2(1)+1}=(1+a)\ln \frac{1}{3}=-(1+a)\ln 3$。 取 $x=-1$： $f(-1)=(-1+a)\ln \frac{2(-1)-1}{2(-1)+1}=(a-1)\ln \frac{-3}{-1}=(a-1)\ln 3$。 由 $f(1)=f(-1)$ 得： $-(1+a)\ln 3=(a-1)\ln 3$ $-1-a=a-1$ $2a=0⟹a=0$。

解法二：函数性质法 设 $g(x)=\ln \frac{2x-1}{2x+1}$。 检查 $g(x)$ 的奇偶性： $g(-x)=\ln \frac{-2x-1}{-2x+1}=\ln \frac{-(2x+1)}{-(2x-1)}=\ln \frac{2x+1}{2x-1}=\ln {\left(\frac{2x-1}{2x+1}\right)}^{-1}=-\ln \frac{2x-1}{2x+1}=-g(x)$。 所以 $g(x)$ 是奇函数。 已知 $f(x)=(x+a)\cdot g(x)$ 为偶函数。 根据奇偶性乘法法则：“奇 $\times$ 奇 = 偶”，可知 $h(x)=x+a$ 必须为奇函数。 对于一次函数 $h(x)=x+a$，其为奇函数的充要条件是常数项为 $0$，即 $a=0$。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数的奇偶性定义、复合函数奇偶性运算法则、对数函数的恒等变形性质。 奇偶性运算法则：
   • 奇 $\times$ 奇 = 偶
   • 偶 $\times$ 偶 = 偶
   • 奇 $\times$ 偶 = 奇
2. 核心方法：特殊值法、函数性质法。
3. 避坑指南：

• 使用特殊值法时，代入的数值必须在函数的定义域内。本题定义域为 $\left(-\infty ,-\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{1}{2},+\infty \right)$，取 $x=1$ 合法。若盲目取 $x=0$，将导致真数为负失去意义。
• 特殊值法求得的参数在严格意义上是必要条件，但在单选题中可直接锁定选项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题考查基本初等函数的奇偶性判定，属于高考常考的函数性质基础题。
2. 结论推广: 形如 $y=\ln \frac{k-x}{k+x}$ 或 $y=\ln \frac{cx-1}{cx+1}$ 的对数模型均为典型的奇函数。处理复合函数的奇偶性时，优先分离并判定此类经典奇函数模型，再结合奇偶性四则运算法则，可直接将复杂的整体推导转化为简单多项式的奇偶判定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-03 单-函数奇偶性
• 1994-全国卷理-15
• 2013-山东卷理-16 填-分段函数