2019-全国卷II文-09 单-抛物线焦点

本题导读

本题考查抛物线的焦点，以及椭圆的焦点。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷II(文)）若抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 的焦点是椭圆 $\frac{x^2}{3p}+\frac{y^2}{p}=1$ 的一个焦点，则 $p=$ ()

A. 2　　　　　　　B. 3　　　　　　　C. 4　　　　　　　D. 8

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求出抛物线 $y^2=2px$ 的焦点坐标。
2. 求出椭圆 $\frac{x^2}{3p}+\frac{y^2}{p}=1$ 的焦点坐标（注意椭圆焦点在 $x$ 轴上，因为 $3p>p>0$）。
3. 令两焦点坐标相等，解出 $p$ 的值。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 的焦点坐标为 $\left(\frac{p}{2},0\right)$。 在椭圆 $\frac{x^2}{3p}+\frac{y^2}{p}=1$ 中，$a^2=3p$，$b^2=p$， 其焦距 $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{3p-p}=\sqrt{2p}$， 故椭圆的焦点坐标为 $(-\sqrt{2p},0)$ 和 $(\sqrt{2p},0)$。 因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点， 所以 $\frac{p}{2}=\sqrt{2p}$。 两边平方得：$\frac{p^2}{4}=2p⟹p^2=8p$。 因为 $p>0$，所以 $p=8$。 故选：(D)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆锥曲线的焦点坐标公式。
2. 核心方法：分别表示出两曲线的焦点坐标建立方程。
3. 避坑指南：椭圆焦点位置的判定（分母哪个大焦点就在哪个轴上），本题中 $3p>p$，焦点在 $x$ 轴。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 圆锥曲线综合基础题。
2. 结论推广: 熟练掌握椭圆中 $c^2=a^2-b^2$ 与抛物线焦点公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷理-11 单-抛物线定义
• 2013-湖南卷理-21 解-抛物线定义
• 2014-上海卷理-03 填-椭圆方程与性质