2014-上海卷理-03 填-椭圆方程与性质

本题导读

本题考查椭圆与抛物线的基础几何性质，核心在于建立两曲线焦点坐标之间的等量关系，从而确定抛物线的参数并写出准线方程。

📌【题干】

Question

（2014年上海卷(理)） 若抛物线 $y^2=2px$ 的焦点与椭圆 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$ 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求椭圆右焦点：由椭圆标准方程提取 $a^2$ 和 $b^2$，利用 $c^2=a^2-b^2$ 计算半焦距 $c$，得出右焦点坐标。
2. 确定抛物线焦点：根据“焦点重合”条件，将椭圆右焦点坐标赋给抛物线。
3. 推导准线方程：根据抛物线焦点坐标 $(\frac{p}{2},0)$ 与准线方程 $x=-\frac{p}{2}$ 的对称关系直接得出结果。

✅【答案】

点击查看答案

$x=-2$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算椭圆的右焦点坐标 对于椭圆 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$，可知其中心在原点，焦点在 $x$ 轴上。 其中 $a^2=9$，$b^2=5$。 根据椭圆性质 $c^2=a^2-b^2$，得： $c^2=9-5=4$，解得 $c=2$。 故椭圆的右焦点坐标为 $(2,0)$。

第二步：确定抛物线的焦点与参数 已知抛物线 $y^2=2px$ ($p>0$) 的焦点与椭圆右焦点重合。 则抛物线的焦点为 $(2,0)$。 由于抛物线 $y^2=2px$ 的标准焦点坐标为 $(\frac{p}{2},0)$， 对比得 $\frac{p}{2}=2$，即 $p=4$。

第三步：写出准线方程 抛物线 $y^2=2px$ 的准线方程为 $x=-\frac{p}{2}$。 将 $\frac{p}{2}=2$ 代入得： $x=-2$。

故答案为 $x=-2$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆焦点基本计算 $c=\sqrt{a^2-b^2}$；抛物线 $y^2=2px$ 的焦点 $(\frac{p}{2},0)$ 与准线 $x=-\frac{p}{2}$ 的位置关系。

2. 核心方法：特征元素对应法。处理此类题目，关键是准确记忆不同圆锥曲线标准方程下的特征点坐标。

3. 避坑指南：注意抛物线准线方程是直线，必须写成 $x=-2$ 的形式，不能只写数值 $-2$。同时要分清抛物线开口方向，避免将准线写成 $y=-2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 双曲线的焦点计算、抛物线的定义。

2. 结论推广: 若两曲线共焦点，则它们的中心（或顶点）与焦点的相对位置关系必须一致。

3. 方法推广: 涉及“共焦点”、“共渐近线”等问题，通常先化简已知曲线方程，求出核心参数 $c$（或 $k$），再代入待求曲线。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.03 抛物线专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2013-重庆卷理-21 解-椭圆方程与性质
• 2013-湖北卷理-21 解-椭圆方程与性质
• 2013-浙江卷理-21 解-椭圆方程与性质