2019-全国卷II文-10 单-导数几何意义

本题导读

本题考查导数的几何意义，以及切线方程。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷II(文)）曲线 $y=2\sin x+\cos x$ 在点 $(\pi ,-1)$ 处的切线方程为 ()

A. $x-y-\pi -1=0$　　　　　　　　　　B. $2x-y-2\pi -1=0$

C. $2x+y-2\pi +1=0$　　　　　　　　　D. $x+y-\pi +1=0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求函数 $y$ 关于 $x$ 的导数 $y^{\prime }$。
2. 代入横坐标 $x=\pi$ 求出切线斜率 $k$。
3. 利用点斜式写出切线方程并化简为一般式。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

因为 $y=2\sin x+\cos x$， 求导得 $y^{\prime }=2\cos x-\sin x$。 当 $x=\pi$ 时，切线斜率 $k=y^{\prime }{|}_{x=\pi }=2\cos \pi -\sin \pi =2(-1)-0=-2$。 切点为 $(\pi ,-1)$， 由点斜式可得切线方程为： $y-(-1)=-2(x-\pi )$ $y+1=-2x+2\pi$ 整理得 $2x+y-2\pi -1=0$（或者写成 $-2x-y+2\pi +1=0$，对照选项变形：$2x+y-2\pi -1=0$ 对应选项中符号稍作调整，发现选项 C 为 $2x+y-2\pi +1=0$？核对计算： $y+1=-2x+2\pi ⟹2x+y-2\pi +1=0$。仔细看：$y-(-1)=y+1$，右边 $-2(x-\pi )=-2x+2\pi$，移项得 $2x+y-2\pi +1=0$）。 故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数的几何意义与切线方程。
2. 核心方法：求导求斜率，点斜式建方程。
3. 避坑指南：移项时注意正负号，避免粗心导致常数项出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 导数几何意义常规题。
2. 结论推广: 熟练掌握三角函数求导公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2008-新课标卷文-21 解-导数切线定值
• 2010-山东卷文-21 解-导数切线与单调性
• 2010-广东卷文-21 解-导数切线距离比