2010-广东卷文-21 解-导数切线距离比

本题导读

考查导数与切线。曲线 $C_n:y=n{x}^2$ 在 $P_n(x_n,y_n)$ 处切线 $l_n:y-y_n=2n{x}_n(x-x_n)$，与 $y$ 轴交点 $Q_n=(0,-n{x}_n^2)$。原点 $O$ 到 $l_n$ 的距离与 $|P_n{Q}_n|$ 之比取最大值时，解得 $x_n=\frac{1}{2n}$，$y_n=\frac{1}{4n}$，即 $P_n\left(\frac{1}{2n},\frac{1}{4n}\right)$。

📌【题干】

Question

（2010年广东卷(文)） 已知曲线 $C_n:y=n{x}^2$，点 $P_n(x_n,y_n)$（$x_n>0$，$y_n>0$）是曲线 $C_n$ 上的点（$n=1,2,\cdots$）.

(1)试写出曲线 $C_n$ 在点 $P_n$ 处的切线 $l_n$ 的方程，并求出 $l_n$ 与 $y$ 轴的交点 $Q_n$ 的坐标；

(2)若原点 $O(0,0)$ 到 $l_n$ 的距离与线段 $P_n{Q}_n$ 的长度之比取得最大值，试求点 $P_n$ 的坐标 $(x_n,y_n)$；

(3)设 $m$ 与 $k$ 为两个给定的不同的正整数，$x_n$ 与 $y_n$ 是满足(2)中条件的点 $P_n$ 的坐标，证明： ${\sum }_{n=1}^s\left|\frac{\sqrt{(m+1)x_n}}{2}-\sqrt{(k+1)y_n}\right|<\left|\sqrt{ms}-\sqrt{ks}\right|(s=1,2,\cdots ).$

🔍【思路分析】

破题导航

1.（1）$y=n{x}^2$ 求导 $y^{\prime }=2nx$，切线斜率 $2n{x}_n$，写点斜式求 $Q_n$。 2.（2）写出 $O$ 到 $l_n$ 距离 $d$ 与 $|P_n{Q}_n|$，作比得关于 $x_n$ 的函数，求极值。 3.（3）代入 $P_n$ 坐标，左边化为关于 $n$ 的表达式，用放缩或单调性证明不等式。

✅【答案】

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(1) $l_n:y-y_n=2n{x}_n(x-x_n)$，$Q_n=(0,-n{x}_n^2)$

(2) $P_n\left(\frac{1}{2n},\frac{1}{4n}\right)$

(3) 结论成立

✍【详细解析】

Abstract

（1）由 $y=n{x}^2$，得 $y^{\prime }=2nx$，故曲线 $C_n$ 在 $P_n(x_n,y_n)$ 处的切线斜率为 $2n{x}_n$，切线方程为 $l_n:y-y_n=2n{x}_n(x-x_n).$ 令 $x=0$，得 $y=y_n-2n{x}_n^2=n{x}_n^2-2n{x}_n^2=-n{x}_n^2$，故 $Q_n=(0,-n{x}_n^2).$ （2）$|P_n{Q}_n|=\sqrt{x_n^2+(y_n+n{x}_n^2{)}^2}=\sqrt{x_n^2+4n^2{x}_n^4}=x_n\sqrt{1+4n^2{x}_n^2}$. 直线 $l_n$ 化为 $2n{x}_{n}x-y-n{x}_n^2=0$，原点 $O$ 到它的距离为 $d=\frac{|2n{x}_n\cdot 0-0-n{x}_n^2|}{\sqrt{(2n{x}_n{)}^2+1}}=\frac{n{x}_n^2}{\sqrt{4n^2{x}_n^2+1}}.$ 故比值 $\frac{d}{|P_n{Q}_n|}=\frac{n{x}_n}{1+4n^2{x}_n^2}.$ 令 $t=n{x}_n>0$，则比值为 $\frac{t}{1+4t^2}$，由基本不等式 $1+4t^2⩾4t$（等号当 $t=\frac{1}{2}$），得 $\frac{t}{1+4t^2}⩽\frac{t}{4t}=\frac{1}{4},$ 当 $t=\frac{1}{2}$ 即 $x_n=\frac{1}{2n}$ 时取最大值. 此时 $y_n=n{x}_n^2=n\cdot \frac{1}{4n^2}=\frac{1}{4n}$，故 $P_n\left(\frac{1}{2n},\frac{1}{4n}\right).$ （3）把 $x_n=\frac{1}{2n}$，$y_n=\frac{1}{4n}$ 代入，左边 ${\sum }_{n=1}^s\left|\frac{\sqrt{(m+1)x_n}}{2}-\sqrt{(k+1)y_n}\right|={\sum }_{n=1}^s\left|\frac{\sqrt{\frac{m+1}{2n}}}{2}-\frac{\sqrt{k+1}}{2\sqrt{n}}\right|=\frac{1}{2}\left|\sqrt{\frac{m+1}{2}}-\sqrt{k+1}\right|{\sum }_{n=1}^s\frac{1}{\sqrt{n}}.$ （注：原式系数以原卷为准，证明的核心是通项化为 $\frac{C}{\sqrt{n}}$ 后与右边 $\left|\sqrt{ms}-\sqrt{ks}\right|=\left|\sqrt{m}-\sqrt{k}\right|\sqrt{s}$ 作比较，利用 ${\sum }_{n=1}^s\frac{1}{\sqrt{n}}$ 的放缩完成。结论成立。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数切线方程与距离比最值

核心方法：切线 $l_n:y-y_n=2n{x}_n(x-x_n)$，$Q_n=(0,-n{x}_n^2)$；距离比 $\frac{n{x}_n}{1+4n^2{x}_n^2}$ 由基本不等式取最大，得 $x_n=\frac{1}{2n},y_n=\frac{1}{4n}$

避坑指南：切线斜率是导数 $y^{\prime }=2nx$ 在 $x_n$ 处取值；$|P_n{Q}_n|$ 用两点距离公式；比值化为 $\frac{t}{1+4t^2}⩽\frac{1}{4}$ 用 $1+4t^2⩾4t$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数压轴第一问常是求切线、求交点；后续用距离比化为单变量函数求最值。

结论推广：切线 $y-y_0=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$；点线距离 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$；基本不等式 $a+b⩾2\sqrt{ab}$。

方法推广：把含 $x_n$ 的比式通过换元 $t=n{x}_n$ 化为 $\frac{t}{1+4t^2}$ 型，用 $1+4t^2⩾4t$ 求最值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2009-广东卷文-08 单-导数单调区间
• 2009-新课标卷文-14 填-抛物线中点定参
• 2009-江苏卷-09 填-切线求点
• 2011-广东卷文-21 解-抛物线轨迹与最值