2019-全国卷II文-16 填-解三角形

本题导读

本题考查正弦定理与余弦定理，以及解三角形的实际应用。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷II(文)）中国有悠久的金石文化，印信是其代表之一。南北朝时期官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）。半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体。图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1。则该半正多面体共有 $\underline{}$ 个面，其棱长为 $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 面数计数：

• 观察图 2 的结构，该多面体具有明显的对称性，可以采用分层计数法。

• 分别数出顶部、中间带、底部的面数加总。

• 或者利用欧拉公式 $V-E+F=2$ 进行校验（如果能数出顶点数 $V$）。

2. 棱长计算：

• 几何还原：该半正多面体实际上是一个正方体通过“切八个角”和“切十二条棱”形成的小斜方截半立方体。
• 建立关系：设半正多面体的棱长为 $x$。在正方体的每一条棱上，都会剩下中间的一段（即半正多面体的正方形面的一边）和两端的三角形/矩形切角部分。
• 截面分析：考虑正方体的一个面，它被截去四个角后变成了一个正八边形（或在本题结构中为特定的形状）。利用直角三角形的勾股关系建立 $x$ 与正方体棱长 1 的方程。

✅【答案】

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26；$\sqrt{2}-1$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 26；$\sqrt{2}-1$

【解析过程】

第一空：求面数 通过观察图 2，可以将该多面体分为上、中、下三层：

1. 顶层：1 个正八边形（中心）+ 4 个正方形 + 4 个正三角形 = 9 个面。
2. 底层：与顶层对称，同样有 9 个面。
3. 中间层：由 8 个正方形组成（环绕一周）。 总面数 $F=9+9+8=26$ 个。 (注：该几何体由 18 个正方形和 8 个正三角形组成，共 26 面。)

第二空：求棱长 设该半正多面体的棱长为 $x$。 将该多面体放回棱长为 1 的正方体中。正方体的一条棱（长度为 1）由以下三部分组成：

1. 中间一段：半正多面体正方形面的边长，长度为 $x$。
2. 两端各一段：由切角形成的直角三角形的直角边。 观察切角处：半正多面体的面（如正三角形或正方形）的棱是由正方体表面的切痕形成的。 在一个切点附近，由于半正多面体的棱长相等，切去的小直角三角形的斜边为 $x$。 根据等腰直角三角形关系，该小直角三角形的直角边长度为 $\frac{\sqrt{2}}{2}x$。

因此，正方体的整条棱长可以表示为： $\frac{\sqrt{2}}{2}x+x+\frac{\sqrt{2}}{2}x=1$ $\sqrt{2}x+x=1$ $(\sqrt{2}+1)x=1$ 解得： $x=\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\sqrt{2}-1$。

故填：26；$\sqrt{2}-1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

文化与数学的结合： 高考常利用此类题目考查空间想象能力。独孤信印（26面体）是典型的阿基米德多面体，在建筑和艺术中广泛存在。 立体几何平面化： 计算棱长的核心在于将 3D 的边长关系投影到正方体的 1D 棱长或 2D 表面上。

易错警示：

1. 数面数时容易漏掉中间一圈的立面。
2. 计算棱长时，如果不画出正方体截角的局部放大图，很难看清 $1$、$\frac{\sqrt{2}}{2}x$ 和 $x$ 之间的线性组合关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以整理以下知识点：

1. 欧拉公式：$V-E+F=2$。本题中 $E=48,F=26⟹V=24$。验证：每层 8 个顶点，共三层，确实是 24 个。
2. 切角规律：

• 截半立方体：由正方体切去 8 个角（至棱中点）得到。
• 小斜方截半立方体（本题）：由正方体切去角和棱得到。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.03 解三角形与解的个数判定

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形
• 2012-浙江卷文-18 解-正余弦定理解三角形
• 2014-新课标I卷理-16 填-正弦定理