2012-浙江卷文-18 解-正余弦定理解三角形

本题导读

本题考查正弦定理。核心在于余弦定理法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年浙江卷(文)） 在 $△ABC$ 中，内角 $A$，$B$，$C$ 的对边分别为 $a$，$b$，$c$，且 $b\sin A=\sqrt{3}a\cos B$.

(1)求角 $B$ 的大小；

(2)若 $b=3$，$\sin C=2\sin A$，求 $a$，$c$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

（1）正弦定理边化角得 $\tan B=\sqrt{3}$，$B=\frac{\pi }{3}$；（2）$\sin C=2\sin A\Rightarrow c=2a$，代余弦定理得 $a=\sqrt{3}$，$c=2\sqrt{3}$。

✅【答案】

点击查看答案

(1)$B=\frac{\pi }{3}$；(2)$a=\sqrt{3}$，$c=2\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由正弦定理，$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，将 $b\sin A=\sqrt{3}a\cos B$ 化为 $\sin B\sin A=\sqrt{3}\sin A\cos B$。

因 $A\in (0,\pi )$，$\sin A>0$，两边约去 $\sin A$ 得 $\sin B=\sqrt{3}\cos B$，即 $\tan B=\sqrt{3}$。

又 $B\in (0,\pi )$，故 $B=\frac{\pi }{3}$。

（2）由 $\sin C=2\sin A$ 及正弦定理得 $c=2a$。

由余弦定理 $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$，代入 $b=3$，$c=2a$，$\cos B=\frac{1}{2}$：

$9=a^2+4a^2-2a\cdot 2a\cdot \frac{1}{2}=3a^2$，故 $a^2=3$，$a=\sqrt{3}$，$c=2\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理的边角互化；余弦定理解三角形

核心方法：含 $\sin A$ 的齐次式先约去，用 $\tan B$ 定角；第二问把”正弦比例”翻成边比例后代余弦定理

避坑指南：约去 $\sin A$ 前必须说明 $\sin A>0$；由 $\tan B=\sqrt{3}$ 在 $(0,\pi )$ 内只有一解 $B=\frac{\pi }{3}$；$c=2a$ 代入余弦定理时合并同类项要仔细（$5a^2-2a^2=3a^2$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解三角形基础解答题，与 2013 年浙江卷文第 18 题、2013 年天津卷文第 16 题同族。

结论推广：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$；$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$。

方法推广：解三角形两问衔接的常见桥梁：第一问的角在第二问里以 $\cos B$ 的身份进入余弦定理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷文-18 解-正余弦定理面积
• 2013-天津卷文-16 解-正余弦定理解三角形
• 2013-湖南卷文-05 单-正弦定理求角