2019-全国卷III文-06 单-等比数列

本题导读

本题考查等比数列的通项与求和。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷III(文)）已知各项均为正数的等比数列 $\{a_n\}$ 的前 4 项和为 15，且 $a_5=3a_3+4a_1$，则 $a_3=$ ()

A. 16　　　　　　　B. 8　　　　　　　C. 4　　　　　　　D. 2

🔍【思路分析】

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1. 设等比数列首项为 $a_1$，公比为 $q$（由各项为正知 $q>0$）。
2. 根据条件列出关于 $a_1$ 和 $q$ 的方程组，求出 $a_3$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q(q>0)$。 由 $a_5=3a_3+4a_1$ 得： $a_1{q}^4=3a_1{q}^2+4a_1$。 因为 $a_1>0$，两边同除以 $a_1$ 得： $q^4-3q^2-4=0⟹(q^2-4)(q^2+1)=0$。 因为 $q^2>0$，所以 $q^2=4$，又 $q>0$，故 $q=2$。 又前 4 项和 $S_4=\frac{a_1(1-q^4)}{1-q}=\frac{a_1(1-16)}{1-2}=15a_1=15$， 解得 $a_1=1$。 因此 $a_3=a_1{q}^2=1\times 2^2=4$。 故选：(C)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列基本量计算。
2. 核心方法：方程组联立与因式分解。
3. 避坑指南：注意根据“各项均为正数”对公比取值进行合理取舍。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 数列常规计算题。
2. 结论推广: 熟练掌握等比数列各项之间的幂次关系。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2014-上海卷理-08 填-等比数列的通项与求和
• 2004-福建理-20 解-等差等比数列
• 2007-上海卷理-20 解-分类讨论思想