2019-全国卷III文-09 单-程序框图

本题导读

本题考查条件判断)，以及等比数列的前 $n$ 项和公式 。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷III(文)）执行如图所示的程序框图，如果输入的 $\epsilon$ 为 0.01，则输出 $S$ 的值等于()

A. $2-\frac{1}{2^4}$　　　B. $2-\frac{1}{2^5}$　　　C. $2-\frac{1}{2^6}$　　　D. $2-\frac{1}{2^7}$


🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解循环逻辑：

• 初始值：$S=0,x=1$。
• 第一次进入循环：$S=0+1=1$, 然后 $x=1/2=0.5$。判断 $0.5<0.01$？（否，继续）。
• 第二次进入循环：$S=1+0.5$, 然后 $x=0.5/2=0.25$。判断 $0.25<0.01$？（否，继续）。

2. 寻找终止阈值：

• 我们需要找到第一个使得 $x=(\frac{1}{2}{)}^n<0.01$ 成立的 $n$。
• 已知 $2^6=64,2^7=128$，则 $\frac{1}{64}\approx 0.0156>0.01$，而 $\frac{1}{128}\approx 0.0078<0.01$。

3. 计算累加和：

• 确定循环停止前 $S$ 累加到了哪一项，利用等比数列求和公式得出结果。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C 【解析过程】 第一步：追踪循环过程

• 初始化：$S=0,x=1,\epsilon =0.01$。
• 第 1 次循环：$S=1$, $x=\frac{1}{2}$。判断 $\frac{1}{2}<0.01$ 不成立。
• 第 2 次循环：$S=1+\frac{1}{2}$, $x=\frac{1}{4}$。判断 $\frac{1}{4}<0.01$ 不成立。
• 第 3 次循环：$S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$, $x=\frac{1}{8}$。判断 $\frac{1}{8}<0.01$ 不成立。
• 第 4 次循环：$S=\cdots +\frac{1}{8}$, $x=\frac{1}{16}$。判断 $\frac{1}{16}<0.01$ 不成立。
• 第 5 次循环：$S=\cdots +\frac{1}{16}$, $x=\frac{1}{32}$。判断 $\frac{1}{32}<0.01$ 不成立。
• 第 6 次循环：$S=\cdots +\frac{1}{32}$, $x=\frac{1}{64}$。判断 $\frac{1}{64}<0.01$ 不成立。
• 第 7 次循环：$S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}$, $x=\frac{1}{128}$。 此时 $x=\frac{1}{128}\approx 0.0078<0.01$，满足条件，退出循环并输出 $S$。

第二步：求和计算 输出的 $S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{2^6}$。 这是一个首项 $a_1=1$，公比 $q=\frac{1}{2}$，项数 $n=7$ 的等比数列。 根据求和公式 $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$： $S=\frac{1\cdot (1-(\frac{1}{2}{)}^7)}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1-\frac{1}{2^7}}{\frac{1}{2}}=2\times (1-\frac{1}{2^7})=2-\frac{2}{2^7}=2-\frac{1}{2^6}$。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 循环结束项的判定：这是此类题目最容易出错的地方。本题中判断框在 $x$ 更新之后，意味着 $S$ 已经加完了当前的 $x$，但判断的是下一个 $x$。
2. 2 的幂次常识：熟记 $2^1$ 到 $2^{10}$ 的值对解决算法题至关重要（如 $2^7=128,2^{10}=1024$）。
3. 等比求和技巧：对于 $1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{2^n}$ 这种结构，结果总是 $2-\frac{1}{2^{n-1}}$，记住这一结构可以快速求解计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以对比以下两种逻辑：

1. 当型循环 (While)：先判断后执行。如果第一次就不满足，循环体一次都不执行。
2. 直到型循环 (Until)：先执行后判断。无论如何，循环体至少执行一次。
3. 精度问题：若 $\epsilon$ 变小，循环次数增加，输出值将更趋近于 2（无穷递缩等比数列的和）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-辽宁卷文-09 单-框图斐波那契递推
• 2013-北京卷理-10 填-等比数列通项
• 2013-大纲卷理-06 单-等比数列定义与公比