2019-全国卷III文-10 单-双曲线性质

本题导读

本题考查双曲线的几何性质，以及三角形面积计算。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷III(文)）已知 $F$ 是双曲线 $C:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$ 的一个焦点，点 $P$ 在 $C$ 上，$O$ 为坐标原点，若 $|OP|=|OF|$，则 $△OPF$ 的面积为 ()

A. $\frac{3}{2}$　　　　　　　B. $\frac{5}{2}$　　　　　　　C. $\frac{7}{2}$　　　　　　　D. $\frac{9}{2}$

🔍【思路分析】

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1. 由双曲线方程求出半焦距 $c$，得到焦点 $F$ 的坐标及 $|OF|=c=3$。
2. 由 $|OP|=|OF|=3$ 可知点 $P$ 在以原点 $O$ 为圆心、半径为 3 的圆上，即 $x^2+y^2=9$。
3. 将圆的方程与双曲线方程联立求出点 $P$ 的纵坐标 $y$，进而利用三角形面积公式求解。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由双曲线 $C:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$ 知 $a^2=4,b^2=5$， 则 $c^2=a^2+b^2=9⟹c=3$。 不妨设右焦点为 $F(3,0)$，则 $|OF|=3$。 因为 $|OP|=|OF|=3$，所以点 $P$ 在圆 $x^2+y^2=9$ 上。 联立 $\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=9\\ \frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1\end{array}$， 解得 $y^2=\frac{25}{9}$，即 $|y|=\frac{5}{3}$。 因此 $△OPF$ 的面积为 $S=\frac{1}{2}\times |OF|\times |y|=\frac{1}{2}\times 3\times \frac{5}{3}=\frac{5}{2}$。 故选：(B)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线的几何性质、圆与双曲线的交点问题。
2. 核心方法：方程组联立消元法。
3. 避坑指南：计算时直接利用底边长和纵坐标求高，避免求出具体的横坐标，简化计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考圆锥曲线经典选择题。
2. 结论推广: 熟练掌握圆与圆锥曲线交点坐标的整体代入与计算技巧。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷理-06 单-双曲线性质
• 2013-大纲卷理-21 解-双曲线性质
• 2013-天津卷理-05 单-双曲线性质