2019-全国卷III文-11 单-线性规划

本题导读

本题考查简单线性规划，以及命题的真假判定。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷III(文)）记不等式组 $\{\begin{array}{l}x+y\ge 6,\\ 2x-y\ge 0,\\ 2x+y\ge 9;\end{array}$ 表示的平面区域为 $D$. 命题 $p:\exists (x,y)\in D,2x+y\ge 9$；命题 $q:\forall (x,y)\in D,2x+y\le 12$. 下面给出了四个命题： ① $p\vee q$；② $\neg p\vee q$；③ $p\wedge \neg q$；④ $\neg p\wedge \neg q$. 这四个命题中，所有真命题的编号是 ()

A. ①③　　　　　　　B. ①②　　　　　　　C. ②③　　　　　　　D. ③④

🔍【思路分析】

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1. 分析平面区域 $D$ 的范围，判断命题 $p$（存在性命题）的真假。
2. 分析区域 $D$ 是否有界或 $2x+y$ 是否有最大值，判定命题 $q$（全称命题）的真假。
3. 结合复合命题的真值表对四个编号命题逐一判断。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由不等式组 $\{\begin{array}{l}x+y\ge 6\\ 2x-y\ge 0\\ 2x+y\ge 9\end{array}$ 作出可行域 $D$。

• 对于命题 $p$: $\exists (x,y)\in D,2x+y\ge 9$. 在区域 $D$ 内显然存在满足 $2x+y\ge 9$ 的点（区域边界及内部均满足），故 $p$ 为真命题，$\neg p$ 为假命题。
• 对于命题 $q$: $\forall (x,y)\in D,2x+y\le 12$. 区域 $D$ 是向右上方无限延伸的无界区域，当 $x,y$ 趋于无穷大时，$2x+y$ 可以大于 12（例如点 $(5,4)$ 满足约束条件，且 $2(5)+4=14>12$），故 $q$ 为假命题，$\neg q$ 为真命题。 综上：$p$ 为真，$q$ 为假，$\neg p$ 为假，$\neg q$ 为真。 判断四个命题： ① $p\vee q$: 真 $\vee$ 假 = 真（正确）； ② $\neg p\vee q$: 假 $\vee$ 假 = 假（错误）； ③ $p\wedge \neg q$: 真 $\wedge$ 真 = 真（正确）； ④ $\neg p\wedge \neg q$: 假 $\wedge$ 真 = 假（错误）。 因此，所有真命题的编号是 ①③。 故选：(A)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划、全称与存在性命题、复合命题真值表。
2. 核心方法：数形结合法与特例验证法。
3. 避坑指南：判断全称命题时，注意无界区域可能导致目标代数式无上界。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 线性规划与逻辑推理结合的创新题型。
2. 结论推广: 熟练掌握存在性与全称命题的否定及真值判断规则。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷理-02 单-线性规划
• 2013-山东卷理-06 单-线性规划
• 2013-广东卷理-13 填-简单线性规划的应用