2019-全国卷III文-16 填-几何体体积

本题导读

本题考查长方体的体积公式。核心在于割补法 (长方体减去四棱锥)、空间投影分析法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷III(文)）学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型。如图，该模型为长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 挖去四棱锥 $O-EFGH$ 后所得的几何体，其中 $O$ 为长方体的中心，$E,F,G,H$ 分别为所在棱的中点，$AB=BC=6\text{cm},A{A}_1=4\text{cm}$。3D 打印所用原料密度为 $0.9{\text{g/cm}}^3$，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 $\underline{}$ $\text{g}$。


🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析几何结构：

• 模型体积 $V_{模型}=V_{长方体}-V_{四棱锥}$。
• 长方体体积易求：$V_{长}=6\times 6\times 4$。

2. 计算四棱锥 $O-EFGH$ 的体积：

• 确定底面 EFGH：$E,F,G,H$ 分别是棱 $AB,BC,CD,DA$（或其平行棱）的中点。由图可知 $EFGH$ 位于长方体的一个侧面上。
• 计算底面积 $S_{EFGH}$：该四边形是一个菱形（或通过大矩形减去四个角上的小直角三角形得出）。
• 确定高 $h$：由于 $O$ 是中心，它到底面 $EFGH$ 的距离等于长方体在该方向棱长的一半。

3. 计算质量：

• 质量 $m=\rho \times V_{模型}$。

✅【答案】

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118.8

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 118.8 【解析过程】

第一步：计算长方体体积 $V_{长方体}=6\times 6\times 4=144{\text{cm}}^3$。

第二步：计算四棱锥 $O-EFGH$ 的体积

1. 求底面积 $S_{EFGH}$： 观察底面 $ABCD$（其边长为 6, 6），$E,F,G,H$ 为各边中点。

$S_{EFGH}=S_{ABCD}-4\times S_{RT△}$ $S_{EFGH}=(6\times 6)-4\times (\frac{1}{2}\times 3\times 3)=36-18=18{\text{cm}}^2$。 (注：也可以直接看作是原正方形面积的一半。) 2. 求棱锥的高 $h$： 点 $O$ 是长方体中心，底面 $EFGH$ 位于侧面（假设是上下底面中间的截面，或者题目图中指示的某个侧面）。 由 $A{A}_1=4$ 可知，$O$ 到侧面的距离为 $6/2=3$（若 $EFGH$ 在侧面）或到顶面的距离为 $4/2=2$。 纠正解析图示逻辑：根据通常题目示意图，$EFGH$ 是在 $6\times 4$ 的侧面上。 若 $EFGH$ 对应棱中点：两条边长为 6，一条高度为 4。 $S_{EFGH}=(6\times 4)-4\times (\frac{1}{2}\times 3\times 2)=24-12=12{\text{cm}}^2$。 此时，$O$ 到底面 $EFGH$ 的距离 $h=6/2=3\text{cm}$。 3. 求 $V_{四棱锥}$： $V_{O-EFGH}=\frac{1}{3}\times S_{EFGH}\times h=\frac{1}{3}\times 12\times 3=12{\text{cm}}^3$。

第三步：计算模型体积与质量 $V_{模型}=144-12=132{\text{cm}}^3$。 $m=0.9\times 132=118.8\text{g}$。

故填：118.8。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 空间方位感：准确判断 $EFGH$ 所在的平面是关键。根据题意和点的位置，它是长方体的一个侧面中心截面。
2. 体积计算细节：棱锥体积公式中的 $\frac{1}{3}$ 极易漏掉。
3. 物理数学结合：最后一步涉及简单的密度换算，考查了数学知识在解决实际生产问题中的应用能力。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以补充以下内容：

• 切片逻辑：3D 打印实质上是体积的累加。在数学上，这对应于定积分的思想。
• 表面积与材料：若题目改为计算“打印所需的支撑材料或喷涂面积”，则考查的是多面体的表面积，即 $S_{长方体表面}+S_{四棱锥侧面}-S_{EFGH}$。
• 空心率：实际 3D 打印常有“填充率”概念，如果填充率不是 100%，则质量需额外乘以填充系数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷文-06 单-三视图体积
• 2014-上海卷文-19 解-正四面体展开
• 2010-湖北卷文-14 填-圆柱内切球体积