2014-上海卷文-19 解-正四面体展开

本题导读

立体几何基础题：由展开图的几何结构（$A,B,C$ 为大三角形三边中点）读出侧棱长，判定正四面体，再用勾股求高算体积。

📌【题干】

Question

（2014年上海卷(文)） 底面边长为 2 的正三棱锥 $P-ABC$，其表面展开图是三角形 $P_1{P}_2{P}_3$，如图，求 $△P_1{P}_2{P}_3$ 的各边长及此三棱锥的体积 $V$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开图中 $A,B,C$ 分别是 $△P_1{P}_2{P}_3$ 三边的中点：每条大三角形的边 = 底边 + 侧棱。
2. 侧棱 = 大三角形边长 − 底边 2，先求大三角形边长。
3. 求体积需要高：用底面正三角形中心到顶点的距离与侧棱勾股。

✅【答案】

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$△P_1{P}_2{P}_3$ 的三边长均为 $4$；$V=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

各边长：展开图中，$P_{1}A$ 与 $P_{1}B$ 是同一条侧棱剪开后的两段，故 $P_{1}A=P_{1}B=PA$（侧棱长）。$AB=2$ 为底面边长。由于展开图恰为三角形 $P_1{P}_2{P}_3$，点 $A,B,C$ 分别落在大三角形的三边上，结合对称性 $A,B,C$ 分别是 $P_1{P}_3$、$P_1{P}_2$、$P_2{P}_3$ 的中点，故

$P_1{P}_2=P_{1}B+B{P}_2=PA+PB=2PA,$

同理三边相等。又在 $P_1$ 处，$P_{1}A$ 与 $P_{1}B$ 是同一条侧棱剪开后的两段，故 $P_{1}A=P_{1}B=PA$。由 $P_1{P}_2=P_1{P}_3$ 及 $A,B,C$ 为中点，可设侧棱 $PA=l$，则大三角形边长为 $2l$，且 $AB=BC=CA=2$。由中位线性质 $AB$ 是 $△P_1{P}_2{P}_3$ 的中位线，

$AB=\frac{1}{2}{P}_1{P}_2⟹2=\frac{1}{2}\cdot 2l⟹l=2.$

故侧棱 $l=2$，$△P_1{P}_2{P}_3$ 的各边长为 $2l=4$，即三边长均为 $4$。（此时 $PA=PB=PC=AB=BC=CA=2$，该三棱锥是棱长为 $2$ 的正四面体。）

体积：底面正三角形面积为

$S=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 2^2=\sqrt{3}.$

顶点 $P$ 在底面的投影是正三角形 $ABC$ 的中心，中心到顶点的距离为 $\frac{2}{\sqrt{3}}$，故高

$h=\sqrt{P{A}^2-{\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)}^2}=\sqrt{4-\frac{4}{3}}=\sqrt{\frac{8}{3}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}.$

于是

$V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\times \sqrt{3}\times \frac{2\sqrt{6}}{3}=\frac{2\sqrt{18}}{9}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：展开图与原几何体的对应关系；正四面体的结构；棱锥体积公式与高的求法。

2. 核心方法：“展开图中剪开处两侧线段等长”是还原侧棱的关键；正四面体的高用”侧棱² − 底面外接圆半径²”勾股而得。

3. 避坑指南：大三角形的边长是 $2l=4$ 而不是 $2$；底面中心到顶点的距离是 $\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，别用成中心到边的距离 $\frac{\sqrt{3}}{3}$，否则高会算错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 展开图与折叠是上海卷立体几何的特色视角，考空间想象与”剪开线段等长”的基本原理。

2. 结论推广: 一般地，正 $n$ 面体的”三角形型展开图”中，大三角形边长 = 2× 棱长；本题结论可推广到任意正四面体棱长 $a$：$V=\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^3$。

3. 方法推广: “展开图 ⟷ 原体”的互化抓住”剪开线段成对相等”，一切展开图问题由此入手。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.07 四面体的性质

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷文-07 单-三棱锥体积
• 2014-福建卷文-03 单-旋转体