2019-全国卷III文-20 解-导数综合

本题导读

本题考查导数的综合应用。核心在于导数法、分类讨论法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷III(文)）已知函数 $f(x)=2x^3-a{x}^2+2$.

(1) 讨论 $f(x)$ 的单调性；

(2) 当 $0<a<3$ 时，记 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 的最大值为 $M$，最小值为 $m$，求 $M-m$ 的取值范围。

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问先求导 $f^{\prime }(x)=6x^2-2ax=2x(3x-a)$，根据参数 $a$ 的正负及极值点与定义域的关系进行分类讨论单调区间。
2. 第(2)问结合 $0<a<3$ 时极值点在区间 $[0,1]$ 内外的分布，确定最大值 $M$ 与最小值 $m$，表示出 $M-m$ 关于 $a$ 的函数，求其取值范围。

✅【答案】

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(1)当 $a>0$ 时，$f(x)$ 在 $(-\infty ,0)$ 和 $(\frac{a}{3},+\infty )$ 上单调递增，在 $(0,\frac{a}{3})$ 上单调递减；当 $a=0$ 时，$f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增；当 $a<0$ 时，$f(x)$ 在 $(-\infty ,\frac{a}{3})$ 和 $(0,+\infty )$ 上单调递增，在 $(\frac{a}{3},0)$ 上单调递减。

(2)$M-m$ 的取值范围为 $\left[\frac{8}{27},2\right)$。

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求导得： $f^{\prime }(x)=6x^2-2ax=2x(3x-a)$.

• 当 $a>0$ 时，令 $f^{\prime }(x)=0$ 得 $x_1=0,x_2=\frac{a}{3}$，且 $\frac{a}{3}>0$.
• 当 $x\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(\frac{a}{3},+\infty \right)$ 时，$f^{\prime }(x)>0$；
• 当 $x\in \left(0,\frac{a}{3}\right)$ 时，$f^{\prime }(x)<0$. 故 $f(x)$ 在 $\left(-\infty ,0\right)$ 和 $\left(\frac{a}{3},+\infty \right)$ 单调递增，在 $\left(0,\frac{a}{3}\right)$ 单调递减。
• 当 $a=0$ 时，$f^{\prime }(x)=6x^2⩾0$，$f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上单调递增。
• 当 $a<0$ 时，令 $f^{\prime }(x)=0$ 得 $x_1=0,x_2=\frac{a}{3}$，且 $\frac{a}{3}<0$.
• 当 $x\in \left(-\infty ,\frac{a}{3}\right)\cup \left(0,+\infty \right)$ 时，$f^{\prime }(x)>0$；
• 当 $x\in \left(\frac{a}{3},0\right)$ 时，$f^{\prime }(x)<0$. 故 $f(x)$ 在 $\left(-\infty ,\frac{a}{3}\right)$ 和 $\left(0,+\infty \right)$ 单调递增，在 $\left(\frac{a}{3},0\right)$ 单调递减。

(2) 当 $0<a<3$ 时，极值点 $\frac{a}{3}\in (0,1)$. 在区间 $[0,1]$ 上，$f(0)=2$，$f(1)=2-a+2=4-a$，极小值为 $f\left(\frac{a}{3}\right)=2-\frac{a^3}{27}$. 比较端点值与极小值：由于 $0<a<3$，可得 $M=f(1)=4-a$（当 $0<a<2$ 时，此时 $4-a>2$）或 $M=f(0)=2$（当 $2⩽a<3$ 时，此时 $4-a⩽2$）。 最小值 $m=f\left(\frac{a}{3}\right)=2-\frac{a^3}{27}$. 当 $0<a<2$ 时，$g(a)=2-a+\frac{a^3}{27}$ 单调递减，故 $M-m\in \left(\frac{8}{27},2\right)$。 当 $2⩽a<3$ 时，$\frac{a^3}{27}$ 单调递增，故 $M-m\in \left[\frac{8}{27},1\right)$。 综上，$M-m$ 的取值范围为 $\left[\frac{8}{27},2\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数研究单调性、闭区间最值。
2. 核心方法：分类讨论思想与临界值比较。
3. 避坑指南：讨论最值时必须将极值点与区间的相对位置关系分析透彻。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考函数与导数大题的常规题型。
2. 结论推广: 熟练掌握三次函数在给定区间上最值的求法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2012年浙江卷理-22
• 2014-江西卷文-18 解-导数最值
• 2024-甲卷理-21 解-导数端点效应