2014-江西卷文-18 解-导数最值

本题导读

(1) 直接求导并解 $f\acute{(}x)>0$；(2) 写 $f(x)=(2x+a{)}^2\sqrt{x}$，按 $-a$ 与区间的相对位置分情形讨论最小值。

📌【题干】

Question

（2014年江西卷(文)） 已知函数 $f(x)=(4x^2+4ax+a^2)\sqrt{x}$，其中 $a<0$.

(1) 当 $a=-4$ 时，求 $f(x)$ 的单调递增区间；

(2) 若 $f(x)$ 在区间 $[1,4]$ 上的最小值为 $8$，求 $a$ 的值.

🔍【思路分析】

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(1) $f(x)=(2x-4{)}^2\sqrt{x}$，求导后通分比较零点；(2) $f(x)=(2x+a{)}^2\sqrt{x}$，导数的符号由 $q(x)=20x^2+12ax+a^2$ 决定。

✅【答案】

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(1) $\left[0,\frac{2}{5}\right]$ 和 $[2,+\infty )$；(2) $a=-10$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 当 $a=-4$ 时，$f(x)=(4x^2-16x+16)\sqrt{x}=(2x-4{)}^2\sqrt{x}$，定义域为 $[0,+\infty )$。 当 $x>0$ 时，$f\acute{(}x)=4(2x-4)\sqrt{x}+\frac{(2x-4{)}^2}{2\sqrt{x}}=\frac{(2x-4)\left[8x+(2x-4)\right]}{2\sqrt{x}}=\frac{2(5x-2)(x-2)}{\sqrt{x}}$。 由 $\sqrt{x}>0$ 知 $f\acute{(}x)>0$ 等价于 $(5x-2)(x-2)>0$，解得 $0<x<\frac{2}{5}$ 或 $x>2$。又 $f(0)=0$，故 $f(x)$ 的单调递增区间为 $\left[0,\frac{2}{5}\right]$ 和 $[2,+\infty )$。 (2) $f(x)=(2x+a{)}^2\sqrt{x}$，其中 $a<0$。 ① 当 $-8⩽a⩽-2$ 时，$x=-\frac{a}{2}\in [1,4]$，此时 $f\left(-\frac{a}{2}\right)=0$，最小值不可能是 $8$，不合题意。 ② 当 $-2<a<0$ 时，$f\acute{(}x)=\frac{q(x)}{2\sqrt{x}}$，其中 $q(x)=20x^2+12ax+a^2$。此时 $q(1)=(a+2)(a+10)>0$，且 $x⩾1$ 时 $q\acute{(}x)=40x+12a>0$，故 $q(x)>0$，$f$ 在 $[1,4]$ 上单调递增，最小值 $f(1)=(a+2{)}^2<4<8$，不合题意。 ③ 当 $-10<a<-8$ 时，$q(x)=20\left(x+\frac{a}{10}\right)\left(x+\frac{a}{2}\right)$，且 $-\frac{a}{10}<1<4<-\frac{a}{2}$，故 $f$ 在 $[1,4]$ 上单调递减，最小值 $f(4)=2(a+8{)}^2<8$，不合题意。 ④ 当 $a=-10$ 时，$q(x)=20(x-1)(x-5)$，在 $[1,4]$ 上 $q(x)<0$，$f$ 单调递减，最小值 $f(4)=2(8-10{)}^2=8$，符合题意。 ⑤ 当 $a<-10$ 时，$f$ 在区间内部的驻点 $x=-\frac{a}{10}\in (1,4)$ 处由增转减，最小值只能在端点处取得，而 $f(1)=(a+2{)}^2>64$、$f(4)=2(a+8{)}^2>8$，不可能等于 $8$，不合题意。 综上，$a=-10$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：含参函数的单调性与闭区间上的最值

2. 核心方法：按参数区间分类讨论

3. 避坑指南：求导后把 $f\acute{(}x)$ 的零点（与 $-a$ 有关的 $\frac{-a}{10}$、$\frac{-a}{2}$）与区间端点 $1$、$4$ 比较，按位置关系分五种情形讨论；每种情形都要检验所得最小值能否等于 $8$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 含参函数在闭区间上的最值问题。

2. 结论推广: $f(x)=(2x+a{)}^2\sqrt{x}$，其导数的符号由 $q(x)=20x^2+12ax+a^2$ 决定。

3. 方法推广: 含参最值问题的通法：先求导，再让导数的零点与给定区间的端点比较，逐一讨论最小值取在驻点还是端点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.04 三次函数性质全总结

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-21 解-求曲线的切线
• 2014-新课标I卷理-11 单-极值