2019-全国卷III理-10 单-双曲线性质

本题导读

本题考查双曲线的标准方程与几何性质，以及双曲线的渐近线方程。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷III(理)）双曲线 $C:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$ 的右焦点为 $F$，点 $P$ 在 $C$ 的一条渐近线上，$O$ 为坐标原点。若 $|PO|=|PF|$，则 $△PFO$ 的面积为()

A. $\frac{3\sqrt{2}}{4}$　　　　　　B. $\frac{3\sqrt{2}}{2}$　　　　　　C. $2\sqrt{2}$　　　　　　D. $3\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 获取基本量： 由双曲线方程得到 $a^2=4,b^2=2$，计算 $c=\sqrt{a^2+b^2}$，写出右焦点 $F$ 的坐标。
2. 确定渐近线： 写出渐近线方程 $y=\pm \frac{b}{a}x$。
3. 利用等腰性质定点： 已知 $|PO|=|PF|$，说明点 $P$ 在线段 $OF$ 的垂直平分线上。 由于 $O(0,0),F(c,0)$，则 $P$ 点的横坐标 $x_P$ 必然是 $OF$ 的中点，即 $x_P=\frac{c}{2}$。
4. 计算面积： 将 $x_P$ 代入渐近线方程求出 $|y_P|$（即 $△PFO$ 底边 $OF$ 上的高），最后代入面积公式 $S=\frac{1}{2}\cdot |OF|\cdot |y_P|$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A 【解析过程】 第一步：计算双曲线基本量 由 $C:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$ 可知： $a=2,b=\sqrt{2}$。 则 $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{4+2}=\sqrt{6}$。 右焦点 $F(\sqrt{6},0)$，所以 $|OF|=\sqrt{6}$。 渐近线方程为 $y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}x$。

第二步：确定点 P 的坐标 $\because |PO|=|PF|$， $\therefore$ 点 $P$ 在线段 $OF$ 的垂直平分线 $x=\frac{\sqrt{6}}{2}$ 上。 又 $\because$ 点 $P$ 在渐近线 $y=\frac{\sqrt{2}}{2}x$ 上（取其中一条即可，不影响面积结果）， $\therefore y_P=\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{\sqrt{12}}{4}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

第三步：计算三角形面积 在 $△PFO$ 中，底边 $|OF|=\sqrt{6}$，高 $h=|y_P|=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 $S_{△PFO}=\frac{1}{2}\times \sqrt{6}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{18}}{4}=\frac{3\sqrt{2}}{4}$。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 等腰三角形的翻译：在解析几何中，看到“到两个定点距离相等”，第一反应应当是垂直平分线。本题中 $OF$ 在 $x$ 轴上，其垂直平分线非常特殊（垂直于 $x$ 轴），极大简化了运算。
2. 渐近线的应用：双曲线的题目往往与渐近线形影不离。记住 $y=\pm \frac{b}{a}x$ 是解决此类问题的钥匙。
3. 运算习惯：在处理根式运算时（如 $\sqrt{6}\cdot \sqrt{3}$），及时化简为 $3\sqrt{2}$ 可以避免后续因数值过大产生的错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以补充以下与渐近线相关的“快速求解”结论：

1. 焦点到渐近线的距离：双曲线的焦点到其任一条渐近线的距离恒等于 $b$。
2. 垂足位置：过焦点向渐近线作垂线，垂足必在以实轴为直径的圆（过顶点的圆）上。
3. 渐近线夹角：若离心率为 $e$，渐近线与实轴夹角 $\theta$ 满足 $\tan \theta =\frac{b}{a}$，且 $\cos \theta =\frac{1}{e}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷理-07 单-双曲线方程
• 2013-江苏卷-03 填-渐近线
• 2013-湖北卷理-05 单-双曲线方程