2019-全国卷III理-11 单-函数奇偶性

本题导读

本题考查偶函数的对称性，以及函数单调性的应用。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷III(理)）设 $f(x)$ 是定义域为 $\mathbb{R}$ 的偶函数，且在 $(0,+\infty )$ 单调递减，则()

A. $f({\log }_3\frac{1}{4})>f(2^{-\frac{3}{2}})>f(2^{-\frac{2}{3}})$

B. $f({\log }_3\frac{1}{4})>f(2^{-\frac{2}{3}})>f(2^{-\frac{3}{2}})$

C. $f(2^{-\frac{3}{2}})>f(2^{-\frac{2}{3}})>f({\log }_3\frac{1}{4})$

D. $f(2^{-\frac{2}{3}})>f(2^{-\frac{3}{2}})>f({\log }_3\frac{1}{4})$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用奇偶性转化：

$f(x)$ 为偶函数，则有 $f(x)=f(-x)=f(|x|)$。

将 $f({\log }_3\frac{1}{4})$ 转化为 $f(|{\log }_3\frac{1}{4}|)=f({\log }_{3}4)$。这样所有自变量都转化到了正区间 $(0,+\infty )$。

2. 比较自变量大小：

比较 ${\log }_{3}4$、$2^{-\frac{3}{2}}$、$2^{-\frac{2}{3}}$ 这三个数的大小。

• 利用中间量 1：${\log }_{3}4>{\log }_{3}3=1$。

• 利用中间量 0 和 1：$2^{-\frac{2}{3}}$ 和 $2^{-\frac{3}{2}}$ 均在 $(0,1)$ 之间。

• 指数比较：$y=2^x$ 是增函数，$-\frac{2}{3}>-\frac{3}{2}$，所以 $2^{-\frac{2}{3}}>2^{-\frac{3}{2}}$。

3. 结合单调性得出结论：

在 $(0,+\infty )$ 上 $f(x)$ 单调递减，即“自变量越大，函数值越小”。根据自变量的排序得出函数值的排序。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C

【解析过程】

第一步：利用对称性转化自变量

因为 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数，所以：

$f({\log }_3\frac{1}{4})=f(-{\log }_{3}4)=f({\log }_{3}4)$。

此时三个函数值的自变量分别为：$x_1={\log }_{3}4$，$x_2=2^{-\frac{3}{2}}$，$x_3=2^{-\frac{2}{3}}$。

第二步：比较 $x_1,x_2,x_3$ 的大小

1. 对于 $x_1={\log }_{3}4$，由于 $4>3$，则 ${\log }_{3}4>{\log }_{3}3=1$。

2. 对于 $x_2,x_3$：

底数为 2，指数函数 $y=2^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增。

由于 $-\frac{2}{3}>-\frac{3}{2}$，

所以 $2^{-\frac{2}{3}}>2^{-\frac{3}{2}}$。

又由于指数为负，故 $1>2^{-\frac{2}{3}}>2^{-\frac{3}{2}}>0$。

综上排序为：${\log }_{3}4>2^{-\frac{2}{3}}>2^{-\frac{3}{2}}>0$。

第三步：结合单调性判定

已知 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 单调递减，

因为 ${\log }_{3}4>2^{-\frac{2}{3}}>2^{-\frac{3}{2}}$，

所以 $f({\log }_{3}4)<f(2^{-\frac{2}{3}})<f(2^{-\frac{3}{2}})$。

即 $f(2^{-\frac{3}{2}})>f(2^{-\frac{2}{3}})>f({\log }_3\frac{1}{4})$。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 偶函数的“绝对值”法：在处理偶函数的大小比较时，最核心的技巧就是利用 $f(x)=f(|x|)$，将所有的讨论归结到单调性已知的正半轴上。

2. 中间量策略：比较指数、对数、幂函数的大小时，“0”和“1”是最常用的参照物。

3. 逻辑一致性：单调递减意味着不等号方向反向，这一点在最后输出答案时务必检查。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以建立此类题目的通用 CheckList：

• 对称性检查：如果是偶函数，取绝对值；如果是奇函数且 $x<0$，利用 $f(x)=-f(-x)$ 提取负号。

• 区间统一：确保所有自变量位于同一个单调区间内。

• 自变量排序：利用函数曲线图、中间值或作商法比较大小。

• 单调性应用：增函数同向，减函数反向。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-03 单-对数运算

• 2005-天津卷理-16 填-奇函数零点性质

• 2007-天津卷理-07 单-函数单调性区间平移