2007-天津卷理-07 单-函数单调性区间平移

本题导读

本题是一道经典的函数综合性质辨析题。考查奇偶性（关于 $y$ 轴对称）与一般轴对称（关于 $x=1$ 对称）联立推导周期性的能力，进而考查在不同周期与对称区间内函数单调性的转化。

📌【题干】

Question

（2007年天津卷(理)） 在 $\mathbf{R}$ 上定义的函数 $f(x)$ 是偶函数，且 $f(x)=f(2-x)$。若 $f(x)$ 在区间 $[1,2]$ 上是减函数，则 $f(x)$ ()

A. 在区间 $[-2,-1]$ 上是增函数，在区间 $[3,4]$ 上是增函数

B. 在区间 $[-2,-1]$ 上是增函数，在区间 $[3,4]$ 上是减函数

C. 在区间 $[-2,-1]$ 上是减函数，在区间 $[3,4]$ 上是增函数

D. 在区间 $[-2,-1]$ 上是减函数，在区间 $[3,4]$ 上是减函数

🔍【思路分析】

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1. 由偶函数性质得 $f(-x)=f(x)$，结合 $f(2-x)=f(x)$ 推导出函数的周期 $T=2$；
2. 利用周期性，将待求区间 $[3,4]$ 和 $[-2,-1]$ 转换到已知单调性的基础周期区间内；
3. 结合对称性（关于 $x=1$ 对称或关于 $x=0$ 对称），判断转化后区间的单调性。

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$f(x)$ 在区间 $[-2,-1]$ 上是增函数，在区间 $[3,4]$ 上是减函数

✍【详细解析】

Abstract

解： 因为 $f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的偶函数，所以 $f(-x)=f(x)$（图象关于 $y$ 轴对称）。 又因为 $f(x)=f(2-x)$，所以图象关于直线 $x=1$ 对称。 由此得： $f(x+2)=f(2-(-x))=f(-x)=f(x)$ 所以函数 $f(x)$ 是以 $T=2$ 为周期的周期函数。

对于区间 $[3,4]$： 由于 $f(x)$ 的周期为 $2$，区间 $[3,4]$ 经过向左平移一个周期（减去 2）即为区间 $[1,2]$。 因为 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上是减函数，所以 $f(x)$ 在 $[3,4]$ 上也是减函数。

对于区间 $[-2,-1]$： 由于 $f(x)$ 的周期为 $2$，区间 $[-2,-1]$ 经过向右平移一个周期（加上 2）即为区间 $[0,1]$。 因为 $f(x)$ 的图象关于直线 $x=1$ 对称，且 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上是减函数， 根据轴对称的性质，函数在对称轴两侧的单调性相反， 所以 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上必为增函数。 由于周期性， $f(x)$ 在 $[-2,-1]$ 上也是增函数。

综上所述，$f(x)$ 在区间 $[-2,-1]$ 上是增函数，在区间 $[3,4]$ 上是减函数。 故选 (B)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：奇偶性与对称性共同决定周期性。若函数关于 $x=a$ 和 $x=b$ ($a\ne b$) 对称，则其具有周期性，且 $T=2|a-b|$。本题中 $a=0,b=1$，故 $T=2$。
2. 核心方法：区间平移与对称映射。处理抽象函数多区间单调性时，利用周期性“加减周期”和对称性“轴向翻转”是标准通法。
3. 避坑指南：在转化单调性时，“平移周期”不改变单调性，而“关于轴对称变换”会使单调性发生颠倒（增变减，减变增）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是高考函数板块常青树题型，旨在考查对函数宏观“三性”（奇偶、单调、周期）的深度交织理解。
2. 结论推广：一般地，若 $f(x)$ 满足 $f(x+a)=-f(x)$ 或 $f(a-x)=f(a+x)$ 结合奇偶性，均可推导周期。若在某一基本单调区间已知，通过 $f^{\prime }(x)$ 或图象草图（如锯齿波、正弦波型示意图）可快速判定全域单调性。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷理-10 单-抛物线
• 2022-新高考I卷-12 多-抽象函数对称性