2019-全国卷III理-18 解-正弦定理

本题导读

本题考查正弦定理。核心在于边角转化法 (正弦定理)、整体代换法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷III(理)）$△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，已知 $a\sin \frac{A+C}{2}=b\sin A$。

(1)求 $B$；

(2)若 $△ABC$ 为锐角三角形，且 $c=1$，求 $△ABC$ 面积的取值范围。

🔍【思路分析】

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1. 第一问：

• 看到等式中有边有角，优先考虑正弦定理进行边化角：$a\to \sin A$，$b\to \sin B$。

• 利用 $A+C=\pi -B$ 进行消元，将等式转化为仅关于 $B$ 的三角方程。

• 注意三角形内角的取值范围，排除不合理的解。

2. 第二问：

• 面积表达：利用 $S=\frac{1}{2}ac\sin B$。由于已知 $c=1,B=\frac{\pi }{3}$，只需将 $a$ 表示为另一角（如 $C$）的函数。

• 角度约束：锐角三角形意味着 $A<\frac{\pi }{2},B<\frac{\pi }{2},C<\frac{\pi }{2}$。结合 $A+C=\frac{2\pi }{3}$，求出角 $C$ 的取值范围。

• 函数求值域：利用三角恒等变换化简面积表达式，结合 $C$ 的范围确定最终面积区间。

✅【答案】

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(1)$B=\frac{\pi }{3}$。

(2)面积的取值范围为 $(\frac{\sqrt{3}}{8},\frac{\sqrt{3}}{2})$。

✍【详细解析】

Abstract

【解析过程】

(1)在 $△ABC$ 中，由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 得 $a=\frac{b\sin A}{\sin B}$。

代入已知条件 $a\sin \frac{A+C}{2}=b\sin A$：

$\frac{b\sin A}{\sin B}\cdot \sin \frac{A+C}{2}=b\sin A$。

因为 $A$ 是三角形内角，$\sin A\ne 0$；且 $b>0$，消去 $b\sin A$ 得：

$\frac{\sin \frac{A+C}{2}}{\sin B}=1⟹\sin \frac{A+C}{2}=\sin B$。

又 $\because A+C=\pi -B$，$\therefore \sin \frac{\pi -B}{2}=\sin B$，

即 $\cos \frac{B}{2}=2\sin \frac{B}{2}\cos \frac{B}{2}$。

因为 $0<B<\pi$，所以 $0<\frac{B}{2}<\frac{\pi }{2}$，则 $\cos \frac{B}{2}\ne 0$。

两边除以 $\cos \frac{B}{2}$ 得：$1=2\sin \frac{B}{2}⟹\sin \frac{B}{2}=\frac{1}{2}$。

解得 $\frac{B}{2}=\frac{\pi }{6}$，即 $B=\frac{\pi }{3}$。

(2)由(1)知 $B=\frac{\pi }{3}$，则 $A+C=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$。

$\because △ABC$ 是锐角三角形，

$\therefore \{\begin{array}{l}0<A<\frac{\pi }{2}\\ 0<C<\frac{\pi }{2}\end{array}⟹\{\begin{array}{l}0<\frac{2\pi }{3}-C<\frac{\pi }{2}\\ 0<C<\frac{\pi }{2}\end{array}⟹\frac{\pi }{6}<C<\frac{\pi }{2}$。

由正弦定理得 $a=\frac{c\sin A}{\sin C}=\frac{\sin (\frac{2\pi }{3}-C)}{\sin C}$。

$△ABC$ 的面积 $S=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sin (\frac{2\pi }{3}-C)}{\sin C}\cdot 1\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{\sin \frac{2\pi }{3}\cos C-\cos \frac{2\pi }{3}\sin C}{\sin C}$

$S=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\cos C+\frac{1}{2}\sin C}{\sin C}=\frac{\sqrt{3}}{4}(\frac{\sqrt{3}}{2}\cot C+\frac{1}{2})=\frac{3}{8}\cot C+\frac{\sqrt{3}}{8}$。

$\because \frac{\pi }{6}<C<\frac{\pi }{2}$，

$\therefore \cot C\in (0,\sqrt{3})$。

当 $\cot C\to \sqrt{3}$ 时，$S\to \frac{3\sqrt{3}}{8}+\frac{\sqrt{3}}{8}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；

当 $\cot C\to 0$ 时，$S\to \frac{\sqrt{3}}{8}$。

故 $△ABC$ 面积的取值范围是 $(\frac{\sqrt{3}}{8},\frac{\sqrt{3}}{2})$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 边角转化的选择：通常“齐次式”优先选正弦定理（如本题），“平方项/非齐次”优先选余弦定理。

2. 范围限制是灵魂：“锐角三角形”这个条件决定了最后的范围，不少考生会漏掉 $A<\frac{\pi }{2}$ 这一限制，导致 $C$ 的范围只写了 $(0,\frac{\pi }{2})$，从而得分减半。

3. 函数建模：将面积 $S$ 转化为关于单角 $C$ 的函数是解决此类值域问题的核心思路。利用 $\cot C$ 相比利用辅助角公式在化简上往往更直接。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以总结此类问题的通用步骤：

1. 定形：通过已知条件解出一个内角或边长比例。

2. 范围：根据三角形性质（大边对大角、锐角限制等）定出剩余角的区间。

3. 建模：利用面积公式 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ 或周长公式 $L=a+b+c$，结合正弦定理统一为一个角的三角函数。

4. 求值：利用单调性或辅助角公式 $A\sin (\omega x+\phi )$ 计算区间。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷理-17

• 2005-辽宁卷-08 单-等差数列的性质

• 2009-大纲卷II理-17