2019-北京卷文-10 填-线性规划

本题导读

本题考查简单线性规划。

📌【题干】

Question

（2019年北京卷文）若 $x,y$ 满足 $\{\begin{array}{l}x\le 2\\ y\ge -1\\ 4x-3y+1\ge 0\end{array}$，则 $y-x$ 的最小值$\underline{}$，最大值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 画出不等式组表示的平面区域（即可行域）。
2. 将目标函数设为 $z=y-x$，转化为直线的截距模型，利用直线在可行域上的截距变化求最值。

✅【答案】

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$-3$；$1$.

✍【详细解析】

Abstract

画出约束条件 $\{\begin{array}{l}x\le 2\\ y\ge -1\\ 4x-3y+1\ge 0\end{array}$ 围成的三角形可行域。 各边界直线的交点分别为：

1. 直线 $x=2$ 与 $y=-1$ 的交点：$A(2,-1)$；
2. 直线 $x=2$ 与 $4x-3y+1=0$ 的交点：当 $x=2$ 时，$4(2)-3y+1=0⟹9-3y=0⟹y=3$，即 $B(2,3)$；
3. 联立 $y=-1$ 与 $4x-3y+1=0$：$4x-3(-1)+1=0⟹4x+4=0⟹x=-1$，即 $C(-1,-1)$。 目标函数变形为 $y=x+z$，其几何意义为直线在 $y$ 轴上的截距。

• 当直线经过点 $A(2,-1)$ 时，$z=-1-2=-3$（取得最小值）；
• 当直线经过点 $B(2,3)$ 时，$z=3-2=1$（取得最大值）。 故 $y-x$ 的最小值为 $-3$，最大值为 $1$. 故答案为：$-3$；$1$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划求最值。
2. 核心方法：角点法。
3. 避坑指南：准确画出可行域的三个顶点，并正确代入目标函数判断截距。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 2019年北京卷文科数学第10题。
2. 结论推广: 线性目标函数最值通常在可行域的顶点处取得。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷理-02 单-线性规划
• 2013-山东卷理-06 单-线性规划
• 2013-广东卷理-13 填-简单线性规划的应用