2019-北京卷文-13 填-空间位置关系

本题导读

本题考查空间直线与平面的位置关系，以及线面垂直与平行判定。

📌【题干】

Question

（2019年北京卷文）已知 $l,m$ 是平面 $\alpha$ 外的两条不同直线. 给出下列三个论断：

① $l\perp m$；

② $m\parallel \alpha$；

③ $l\perp \alpha$.

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 分析三个论断之间的逻辑关系：若已知 $l\perp \alpha$ 且 $m\parallel \alpha$，根据线面垂直的性质（垂直于同一平面的两条直线平行，或者直线与平面平行时垂直于该平面的直线与平面内平行线垂直），能否推导 $l\perp m$？或者若已知 $l\perp m$ 且 $l\perp \alpha$，能否推导 $m\parallel \alpha$ 或 $m\subset \alpha$？

2. 检验组合：若以 ②③ 为条件（即 $m\parallel \alpha$ 且 $l\perp \alpha$），则 $l\perp m$ 一定成立（因为垂直于同一个平面的直线平行于平面内的平行线或垂直于该平面内的直线）。因此，若①②③中以②③为条件，①为结论，即“若 $m\parallel \alpha$ 且 $l\perp \alpha$，则 $l\perp m$”。

3. 检查另一种组合：若以①③为条件（即 $l\perp m$ 且 $l\perp \alpha$），则 $m$ 可能平行于 $\alpha$ 或者是 $m$ 在 $\alpha$ 内部，故不能绝对得到 $m\parallel \alpha$。因此正确的组合为：若②③，则①（或写成：若 $m\parallel \alpha$ 且 $l\perp \alpha$，则 $l\perp m$）。

✅【答案】

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若 $m\parallel \alpha$ 且 $l\perp \alpha$，则 $l\perp m$（答案不唯一，合理即可）

✍【详细解析】

Abstract

在立体几何中，若一条直线 $l$ 垂直于平面 $\alpha$，即 $l\perp \alpha$；另一条直线 $m$ 平行于平面 $\alpha$，即 $m\parallel \alpha$。根据线面垂直的性质定理，在平面 $\alpha$ 内必存在直线与 $l$ 平行，从而该直线与 $m$ 的位置关系可以确定垂直，因此 $l\perp m$ 必然成立。

故可填写的正确命题为：若 $m\parallel \alpha$ 且 $l\perp \alpha$，则 $l\perp m$（或“若②③，则①”）。

故答案为：若 $m\parallel \alpha$ 且 $l\perp \alpha$，则 $l\perp m$（答案不唯一，合理即可）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面平行与垂直的性质。

2. 核心方法：立体几何定理的综合辨析。

3. 避坑指南：注意直线在平面外这一前提条件，防止忽视线在面内的情况。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 2019年北京卷文科数学第13题。

2. 结论推广: 空间中线面关系的真假命题判断与构造。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2001-上海卷理-15 单-空间直线与平面的位置关系

• 2005-全国卷II理-02 单-空间几何体的截面问题

• 2008-上海卷文-13 单-线面垂直充要条件