2008-上海卷文-13 单-线面垂直充要条件

本题导读

考查线面垂直与条件关系。"$l\perp \alpha$"能推出”$l$ 与 $\alpha$ 内无数条直线垂直”（必要性）；但后者可以是 $l$ 只垂直于一族平行线（充分性不成立），选 B。

📌【题干】

Question

（2008年上海卷(文)） 给定空间中的直线 $l$ 及平面 $\alpha$，条件”直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 内无数条直线都垂直”是”直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 垂直”的()

A. 充分非必要条件　　　　　　　　　　B. 必要非充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既非充分又非必要条件

🔍【思路分析】

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1. 若 $l\perp \alpha$，则 $l$ 垂直于 $\alpha$ 内所有直线，当然垂直于其中无数条——必要性成立。
2. 反之，$l$ 与 $\alpha$ 内无数条平行于方向 $m$ 的直线垂直时，$l\perp m$，但 $l$ 可能斜交 $\alpha$——充分性不成立。
3. 故为必要非充分条件。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

若直线 $l\perp$ 平面 $\alpha$，则 $l$ 垂直于 $\alpha$ 内的所有直线，当然与 $\alpha$ 内无数条直线都垂直，所以"$l\perp \alpha$"能推出”$l$ 与 $\alpha$ 内无数条直线垂直”，必要性成立. 反之，设 $\alpha$ 内某方向 $m$ 的平行线有无穷多条，$l$ 与这无数条直线垂直只说明 $l\perp m$；$l$ 可以斜交平面 $\alpha$（只要不垂直于 $\alpha$ 内与 $m$ 相交的另一方向），此时 $l$ 不垂直于 $\alpha$，充分性不成立. 所以该条件是"$l\perp \alpha$"的必要非充分条件. 故选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直的必要非充分条件

核心方法：垂直 $\Rightarrow$ 垂直无数条；无数条未必垂直

避坑指南：线面垂直等价于垂直面内所有直线；“无数条”可以是同一方向的平行线族——无穷多不等于全方向，充分性断裂。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“无数条”与”所有”的辨析是立几逻辑题，2009 安徽文第 4 题、2012 天津文第 5 题同型。

结论推广：$l\perp \alpha ⟺l$ 垂直 $\alpha$ 内任意直线；$l$ 垂直 $\alpha$ 内两条相交直线 $\Rightarrow l\perp \alpha$。

方法推广：判断方向：先写”正向推”（垂直 $\to$ 全部 $\to$ 无数条，成立），再举反例（斜线垂直一族平行线）堵死”反向推”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-04 单-充分必要条件
• 2009-浙江卷文-02 单-充分必要条件
• 2011-四川卷文-05 单-充分必要条件
• 2012-天津卷文-05 单-充分必要条件