2019-北京卷理-03 单-参数方程

本题导读

本题考查直线的参数方程与普通方程的转化，以及点到直线的距离公式。

📌【题干】

Question

（2019年北京卷理）已知直线 $l$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=2+4t\end{array}$（$t$ 为参数），则点 $(1,0)$ 到直线 $l$ 的距离是()

A. $\frac{1}{5}$　　　　　　　B. $\frac{2}{5}$　　　　　　　C. $\frac{4}{5}$　　　　　　　D. $\frac{6}{5}$

🔍【思路分析】

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1. 消参转化：

   参数方程不便于直接使用距离公式，需通过消去参数 $t$，将直线 $l$ 的参数方程转化为直角坐标方程（普通方程） $Ax+By+C=0$。

2. 公式应用：

   利用点 $P(x_0,y_0)$ 到直线 $Ax+By+C=0$ 的距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 进行计算。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D

【解析过程】

1. 消去参数 $t$：

   由参数方程得：

   • 从 $x=1+3t$ 解得 $t=\frac{x-1}{3}$ —— ①

   • 从 $y=2+4t$ 解得 $t=\frac{y-2}{4}$ —— ②

     令 ① = ②，得到直线的普通方程：

     $\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{4}$

     交叉相乘并整理：

     $4(x-1)=3(y-2)⟹4x-4=3y-6$

     化为一般式：$4x-3y+2=0$。

2. 计算点到直线的距离 $d$：

   已知点为 $(1,0)$，直线方程系数为 $A=4,B=-3,C=2$。

   代入点到直线距离公式：

   $d=\frac{|4\times 1-3\times 0+2|}{\sqrt{4^2+(-3{)}^2}}$

   $d=\frac{|4+2|}{\sqrt{16+9}}=\frac{6}{\sqrt{25}}=\frac{6}{5}$

   故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 消参技巧： 对于形如 $\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\end{array}$ 的直线参数方程，其斜率为 $k=\frac{b}{a}$。也可以直接利用点斜式 $y-y_0=\frac{b}{a}(x-x_0)$ 快速转化，避免中间步繁琐。

2. 计算细节： 分母 $\sqrt{A^2+B^2}$ 常出现勾股数（如 3, 4, 5），计算时需留意符号，尤其是常数项 $C$ 的正负号。

📖【试题探源与推广】

Tip

在直线参数方程的标准形式 $\{\begin{array}{l}x=x_0+t\cos \alpha \\ y=y_0+t\sin \alpha \end{array}$ 中：

1. 距离意义： 参数 $|t|$ 的几何意义是直线上动点 $P(x,y)$ 到定点 $P_0(x_0,y_0)$ 的距离。

2. 应用场景： 这一性质常用于解决直线与圆、椭圆相交产生的弦长问题（如 $L=|t_1-t_2|$），或者求线段中点对应的参数值（如 $t_{mid}=\frac{t_1+t_2}{2}$）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2013-湖南卷理-09 填-直线参数方程
• 2014-重庆卷理-15 填-直线参数方程
• 1992-全国卷理-08