2013-湖南卷理-09 填-直线参数方程

本题导读

本题考查参数方程，以及直线的参数方程。

📌【题干】

Question

（2013年湖南卷(理)） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，若直线 $l:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=t-a\end{array}$ ($t$ 为参数) 过椭圆 $C:\{\begin{array}{l}x=3\cos \varphi \\ y=2\sin \varphi \end{array}$ ($\varphi$ 为参数) 的右顶点，则常数 $a$ 的值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定椭圆的右顶点：
   • 椭圆参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=a\cos \varphi \\ y=b\sin \varphi \end{array}$，其标准方程为 $\frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{2^2}=1$。
   • 右顶点对应 $\cos \varphi =1,\sin \varphi =0$（即 $\varphi =0$），横坐标为 $x=3$，纵坐标为 $y=0$。
2. 转化直线方程：
   • 直线参数方程中，$x=t$，将其代入 $y=t-a$，消去参数 $t$ 得普通方程：$y=x-a$。
3. 代入求值：
   • 因为直线过椭圆右顶点 $(3,0)$，将该点坐标代入直线方程 $y=x-a$ 即可解出 $a$。

✅【答案】

点击查看答案

3

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析椭圆性质 由椭圆 $C$ 的参数方程 $\{\begin{array}{l}x=3\cos \varphi \\ y=2\sin \varphi \end{array}$ 可知： 长半轴 $a_{\text{椭}}=3$，短半轴 $b_{\text{椭}}=2$。 其中心在原点，长轴在 $x$ 轴上。 右顶点的坐标为 $(3,0)$。

第二步：转化直线方程 已知直线 $l$ 的参数方程为： $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=t-a\end{array}$ 将 (1) 式中的 $t$ 代入 (2) 式，得直线的普通方程为： $y=x-a$

第三步：建立方程求解 $a$ 由于直线 $l$ 经过椭圆的右顶点 $(3,0)$，将坐标代入直线方程得： $0=3-a$ 解得： $a=3$

故答案为：3。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：见详细解析

避坑指南：注意区分椭圆的“左、右、上、下”顶点。右顶点横坐标为正的长半轴长。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线的方向向量 $(1,1)$；圆的参数方程。

结论推广：若直线过椭圆左顶点，则 $a=-3$；若过上顶点，则 $0=0-a$（此处计算需重排，即 $a=0$？不对，应为 $2=0-a⟹a=-2$）。

方法推广：见详细解析

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2015-陕西卷文-23 解-参数方程
• 2014-辽宁卷文-23 解-参数方程
• 2014-福建卷文-06 单-直线方程