2019-北京卷理-10 填-等差数列

本题导读

本题考查等差数列的通项公式，以及等差数列的前 $n$ 项和公式。

📌【题干】

Question

（2019年北京卷理）设等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $a_2=-3$，$S_5=-10$，则 $a_5=$ $\underline{}$， $S_n$ 的最小值为 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求通项与基本量：

   • 利用等差数列性质 $S_5=5a_3$ 快速求出中间项 $a_3$。

   • 结合 $a_2$ 和 $a_3$ 求出公差 $d$。

   • 进而求出 $a_5$。

2. 判定 $S_n$ 的最小值：

   • 观察数列的增减性：若 $d>0$ 且首项为负，则数列由负转正。

   • 核心逻辑：当 $a_n\le 0$ 时，$S_n$ 一直在减小或保持不变；当 $a_n$ 开始变为正数时，$S_n$ 开始增大。因此，最小值出现在所有负项（及零项）的和。

✅【答案】

点击查看答案

$0$； $-10$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $0$； $-10$

【解析过程】

1. 计算 $a_5$：

   • 由等差数列求和性质知：$S_5=\frac{5(a_1+a_5)}{2}=5a_3$。

   • 已知 $S_5=-10$，则 $5a_3=-10⟹a_3=-2$。

   • 公差 $d=a_3-a_2=-2-(-3)=1$。

   • 则 $a_5=a_3+2d=-2+2\times 1=0$。

2. 计算 $S_n$ 的最小值：

   • 数列的通项为 $a_n=a_3+(n-3)d=-2+(n-3)\times 1=n-5$。

   • 列出数列的前几项：$a_1=-4,a_2=-3,a_3=-2,a_4=-1,a_5=0,a_6=1\dots$

   • 观察可知，当 $n\le 5$ 时，$a_n\le 0$，此时前 $n$ 项和 $S_n$ 递减或不变。

   • 当 $n\ge 6$ 时，$a_n>0$，此时 $S_n$ 开始增大。

   • 因此，$S_n$ 的最小值在 $n=4$ 或 $n=5$ 时取得（因为 $a_5=0$，$S_5=S_4+a_5=S_4$）。

   • 已知 $S_5=-10$，故 $S_n$ 的最小值为 $-10$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 技巧化简：在等差数列中，奇数项的和 $S_{2k-1}=(2k-1)a_k$ 是极其高效的提速公式，应熟练运用。

2. 函数思维：$S_n$ 是关于 $n$ 的二次函数。由于 $d=1>0$，其图像是开口向上的抛物线（上的离散点），最小值在顶点附近取得。

3. 易错点：最小值不一定只在某一项取得。如本题 $a_5=0$，则 $S_4$ 和 $S_5$ 同时达到最小值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 通项符号法 (常用)：

   • 若 $a_1<0,d>0$，则 $S_n$ 有最小值，项数 $n$ 满足 $a_n\le 0$ 且 $a_{n+1}\ge 0$。

   • 若 $a_1>0,d<0$，则 $S_n$ 有最大值，项数 $n$ 满足 $a_n\ge 0$ 且 $a_{n+1}\le 0$。

2. 二次函数对称轴法：

   • $S_n=\frac{d}{2}{n}^2+(a_1-\frac{d}{2})n$。利用二次函数对称轴 $n=-\frac{b}{2a}$ 寻找离对称轴最近的正整数即可。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷理-17 解-等差数列通项
• 2013-四川卷理-16 解-等差数列通项与前n项和公式
• 2013-山东卷理-20 解-等差数列通项与前n项和