2019-天津卷文-07 单-三角函数性质

本题导读

本题考查三角函数的图象与性质，以及函数的奇偶性。

📌【题干】

Question

（2019年天津卷文）已知函数 $f(x)=A\sin (\omega x+\phi )$ ($A>0,\omega >0,|\phi |<\pi$) 是奇函数，且 $f(x)$ 的最小正周期为 $\pi$，将 $y=f(x)$ 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 $2$ 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 $g(x)$。若 $g\left(\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}$，则 $f\left(\frac{3\pi }{8}\right)=$ ()

A. $-2$　　　　　　　B. $-\sqrt{2}$　　　　　　　C. $\sqrt{2}$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由最小正周期为 $\pi$ 求出 $\omega =2$。
2. 由 $f(x)$ 为奇函数结合 $|\phi |<\pi$ 确定 $\phi =0$。
3. 根据图象横坐标伸长变换写出 $g(x)$ 的解析式，代入已知条件求出振幅 $A$。
4. 求出 $f(x)$ 的完整解析式后计算 $f\left(\frac{3\pi }{8}\right)$ 的值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

因为 $f(x)$ 的最小正周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }=\pi$，所以 $\omega =2$。 此时 $f(x)=A\sin (2x+\phi )$。 又因为 $f(x)$ 是奇函数，所以 $f(0)=A\sin (\phi )=0$。 因为 $A>0$ 且 $|\phi |<\pi$，故 $\phi =0$，此时 $f(x)=A\sin 2x$。 将 $y=f(x)$ 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 $2$ 倍（纵坐标不变），得到 $g(x)=A\sin \left(2\cdot \frac{1}{2}x\right)=A\sin x$。 由 $g\left(\frac{\pi }{4}\right)=A\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}A=\sqrt{2}$，解得 $A=2$。 因此，$f(x)=2\sin 2x$， 则 $f\left(\frac{3\pi }{8}\right)=2\sin \left(2\times \frac{3\pi }{8}\right)=2\sin \left(\frac{3\pi }{4}\right)=2\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$。 故选：(C)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数解析式确定与图象变换。
2. 核心方法：由奇偶性定初相，由周期定频率，由已知点定振幅。
3. 避坑指南：注意图象伸缩变换中自变量系数的变化，横坐标伸长 $2$ 倍对应 $\omega$ 变为原来的 $\frac{1}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 常见三角函数基本性质与图象变换综合题。
2. 结论推广: 熟练掌握 $y=\sin x$ 图象变换规律是解决此类问题的关键。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2003-北京卷理-11
• 2012年山东卷理-5
• 2015-四川卷理-4